【机器学习】拟牛顿下降优化方法-BFGS

　　牛顿法是求解最优化，理论上最好最精确的方法，公式为：xk+1=xk−f′(xk)f″(xk)，原理是求解导数为0的情况。如果xk是一个高维数据，且函数f(x)非常复杂，那么求解1/f″(x)就是很麻烦的过程。拟牛顿法的思路是，在牛顿法的基础上，对1/f″(x)做个近似估计就行了，不需要精确计算。这样虽然结果会有些差异，但是速度上来了。

　　拟牛顿法 基于原函数f(xk+1)关于f(xk)的二阶泰勒展开。设f(xk)=f(xk+1)+f′(xk+1)(xk−xk+1)+12(xk−xk+1)Tf″(xk+1)(xk−xk+1)+o(xk+1) 令f″(xk+1)=Bk+1，去掉余项o(xk+1)，对xk求导有f′(xk)=f′(xk+1)+Bk+1(xk−xk+1)，解出Bk+1=f′(xk)−f′(xk+1)xk−xk+1=f′(xk+1)−f′(xk)xk+1−xkxk+2=xk+1−λf′(xk+1)/Bk+1由于包含要求解的xk+1，我们只能试着取一个值，随机取值风险很大，上述方程只能作为拟牛顿方程成立的一个必要条件。。

　　BFGS算法是一种迭代拟牛顿法，在满足上述必要条件的情况，保证了计算过程中的稳定，具体证明太难了。设Bk+1=Bk+δB。数学家用了一个很技巧性很偶然的方法，令δB=αuuT+βvvT，则Bk+1=Bk+αuuT+βvvTBk+1(xk+1−xk)=f′(xk+1)−f′(xk)=Bk(xk+1−xk)+[αuT(xk+1−xk)]u+[βvT(xk+1−xk)]v 令αuT(xk+1−xk)=1，βvT(xk+1−xk)=−1，u=f′(xk+1)−f′(xk)，v=Bk(xk+1−xk)，刚好恒等式成立。于是有α=1[f′(xk+1)−f′(xk)]T(xk+1−xk)β=−1[Bk(xk+1−xk)]T(xk+1−xk)=−1(xk+1−xk)TBk(xk+1−xk) 其中Bk=BTk，原理是我们近似认为B是二阶导，当原函数是一元函数时，B是常量，转置就是本身；当原函数是多元函数时，B近似海森矩阵，表示为⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢∂2f∂x21∂2f∂x2∂x1...∂2f∂x1∂x2∂2f∂x22............⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥显然B可以认为是一个对称矩阵。

　　获得上述式子后，令sk=xk+1−xk,yk=f′(xk+1)−f′(xk我们写得Bk+1=Bk+sksTkyTksk−BksksTkBksTkBKsk值得注意的是，Bk+1的表达式还是包含未知的xk+1。定义步长参数λk，遍历计算f(xk+λkdk)，dk=−f′(xk)/Bk，取其中函数值最小时的λk，即求解λk=argminf(xk+λdk)，近似得到sk=λk(−f′(xk)/Bk)，然后代入Bk+1表达式即可。当然λk还有一些设置方法。我们用上述方法预先取的值，一般都受到BFGS本身的约束而不会太离谱。

　　BFGS方法步骤如下：

　　1、给定初值x0，收敛阈值η，初始二阶导B0=I，k=0

　　2、计算得到dk=f′(xk)/Bk，一般Bk是可以求逆的

　　3、解λk=argminf(xk+λdk)，得到xk+1=xk−λkdk

　　4、如果|f′(xk+1)|<η，终止运行

　　5、计算yk=f′(xk+1−f′(xk)),sk=−λkdk，代入Bk+1求解方程，求取Bk+1

　　6、k=k+1，从步骤1开始。