[WerKeyTom_FTD的模拟赛]永恒的契约

题目背景

宅邸迅速的燃烧着，必须带贝蒂走出禁书库！凭着感觉，又一次直接找到禁书库的门。

“你，是那个人嘛？”400年了，当初圣域建立结界时没有进入圣域，被伤了心的人工精灵贝蒂，与强欲魔女签订契约，守护宅邸的禁书库，直至“那个人”的到来，那个人会解开贝蒂的心结。

“我不是那个什么人，但我会成为你唯一的人。我会给你幸福!”

精灵与人签订契约，从此相依为命。这便是，永恒的契约。

题目描述

宅邸里，罗兹瓦尔的房间图书柜后，有一条链接宅邸和圣域的秘密通道，其中有一个神奇的大回环，由n块石头组成。

第i块石头有一个高度ai，两块不同的石头i,j能够互相看到，则它们在环上的两条路径中有至少一条路径上除了两个端点（即i,j）路径上石头高度都不大于min(ai,aj)。

被罗兹瓦尔雇佣的猎肠者躲在这秘密的通道中，为了能够更好的观察通道中的情况，她想知道有多少对石头能够互相看到。

输入格式

第一行一个正整数T，表示数据组数。

接下来T组数据，每组数据第一行读入正整数n，接下来一行按顺时针顺序读入序列a表示石块的高度。

输出格式

T行表示每组数据的答案。

输入样例

1

5

1 2 4 5 3

输出样例

7

数据范围及约定

40%，n<=200

60%，n<=2000

70%，n<=100000

80%，n<=1000000,1<=ai<=1000000

100%，n<=1000000，T<=5，1<=ai<=1000000000

题目来源

Codeforces5E

题目背景相关

题目名选自《Re：从零开始的异世界生活》第四章标题“永恒的契约”，本章讲述了怠惰战后，昴去迎接运往阿拉姆村的村民，却得知圣域被结界封锁，要完成试炼解放圣域的故事。

40%算法

枚举任意两块石头，然后暴力检测是否可以互相看到。

复杂度n^3。

60%算法

因为是一个环，所以将其copy一份变成两倍长度来表示这个环。

如果i、j可以互相看到，那么分情况考虑。

ai!=aj，假设ai>aj，那么从j出发一直走ai是第一个大于aj的，因此可以预处理left和right表示往左/右第一个碰到的权值大于自己的，就可以检验i和j是否能互相看到。

ai=aj，同上，只不过是一个碰到的权值大于自己的位置在i之后。

枚举任意两块石头，用上述方法快速检验是否可以互相看到。

left和right可以用n^2的时间预处理。

因此总复杂度是n^2的。

70%算法

根据60分算法，容易知道对于ai!=aj的情况，很容易线性统计。

因此考虑ai=aj的情况，可以按照权值为第一关键字位置为第二关键字排序，那么对于权值同为x的，后一个能看到前一个，那么之前的就都能看到，便能线性统计。相邻两个能不能互相看到用60分算法的方法检验。

但算上排序的时间，复杂度为n log n。

同时，我们显然不能n^2处理left和right了，但可以用单调栈做到线性处理。

复杂度n log n。

80%算法

权值范围很小时，可以考虑使用桶排序。

复杂度为O(n)。

100%算法

首先，我们注意到可以先删除环上最大值（多个任取一个），将环转化为链，而且删去后只会影响这个最大值和其他石头产生的答案，不会影响其余任意两块石头间的可看见关系。

ai<aj的统计方法如60%一样。

我们重新考虑ai=aj如何统计。假如对于i<j，ai=aj，i和j能互相看到，则说明right[i]>j。因此对于每个位置可以维护一个same[i]表示[i,right[i])中有多少个权值等于ai的，于是这种情况也可以线性统计。

最后不要忘记从首尾推一波，统计被删去的最大值带来的贡献。

复杂度为O(n)。

标程

#include<cstdio>
#include<algorithm>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=1000000+10;
int a[maxn],b[maxn],left[maxn],right[maxn],same[maxn],sta[maxn];
bool bz[maxn];
int i,j,k,l,t,n,m,mx,top,ca;
ll ans;
int read(){
int x=0;
char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9') ch=getchar();
while (ch>='0'&&ch<='9'){
x=x*10+ch-'0';
ch=getchar();
}
return x;
}
int main(){
freopen("forever.in","r",stdin);freopen("forever.out","w",stdout);
ca=read();
while (ca--){
n=read();
fo(i,1,n) same[i]=bz[i]=0;
mx=0;
fo(i,1,n){
a[i]=read();
if (!mx||a[i]>a[mx]) mx=i;
}
top=0;
fo(i,mx,n) b[++top]=a[i];
fo(i,1,mx-1) b[++top]=a[i];
fo(i,1,n) a[i]=b[i];
top=0;
sta[0]=0;
fo(i,2,n){
while (top&&a[i]>=a[sta[top]]) top--;
left[i]=sta[top];
sta[++top]=i;
}
top=0;
sta[0]=n+1;
fd(i,n,2){
while (top&&a[i]>=a[sta[top]]) {
if (a[i]==a[sta[top]]) same[i]=same[sta[top]]+1;
top--;
}
right[i]=sta[top];
sta[++top]=i;
}
ans=0;
fo(i,2,n){
if (left[i]>0) ans++;
if (right[i]<=n) ans++;
ans+=(ll)same[i];
}
mx=0;
fo(i,2,n){
if (mx<=a[i]) bz[i]=1;
mx=max(mx,a[i]);
}
mx=0;
fd(i,n,2){
if (mx<=a[i]) bz[i]=1;
mx=max(mx,a[i]);
}
fo(i,2,n) ans+=bz[i];
printf("%lld\n",ans);
}
}

题目情况

100分：9人

70分：5人

60分：7人

40分：2人

0分：13人

平均分：48.61

想说的话

本来打算给大家放水的，验题人czl也说这是真noip难度。

然而事实上还是出难了，辣鸡czl（雾

大家基本上还是做了挺久，没想到题解法细节都挺麻烦，都做了1.5~3h，我的锅……