素数线性筛
2016-11-03 16:33
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ps:证明转自神牛博客。
首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,
①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等
②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1∗p2∗...∗pn
p_i都是素数(2≤i≤n),pi≤pj(i≤j)
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j]的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话,当 i’ 等于 i’=3*3*5 时,筛除2*i’ 就和前面重复了。
需要证明的东西:
一个数会不会被重复筛除。
合数肯定会被干掉。
根据上面”只能筛出不大于p1的质数*i”的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*…*pn, pi都是素数(1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时,就是上面①的情况,
当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3…*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。
类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。
代码:
#include<cstdio> #include<cstring> using namespace std; const int N=100100; int v ,p ,n,m,tot; int main() { v[1]=1; for (int i=2;i<=N;i++) { if (!v[i]) p[++tot]=i; //关键处1 for (int j=1;p[j]*i<=N;j++) { v[p[j]*i]=1; if (!(i%p[j])) break; //关键处2 } } }
首先,先明确一个条件,任何合数都能表示成一系列素数的积。
不管 i 是否是素数,都会执行到“关键处1”,
①如果 i 都是是素数的话,那简单,一个大的素数 i 乘以不大于 i 的素数,这样筛除的数跟之前的是不会重复的。筛出的数都是 N=p1*p2的形式, p1,p2之间不相等
②如果 i 是合数,此时 i 可以表示成递增素数相乘 i=p1∗p2∗...∗pn
p_i都是素数(2≤i≤n),pi≤pj(i≤j)
p1是最小的系数。
根据“关键处2”的定义,当p1==prime[j]的时候,筛除就终止了,也就是说,只能筛出不大于p1的质数*i。
我们可以直观地举个例子。i=2*3*5
此时能筛除 2*i ,不能筛除 3*i
如果能筛除3*i 的话,当 i’ 等于 i’=3*3*5 时,筛除2*i’ 就和前面重复了。
需要证明的东西:
一个数会不会被重复筛除。
合数肯定会被干掉。
根据上面”只能筛出不大于p1的质数*i”的条件,现在分析一个数会不会被重复筛除。
设这个数为 x=p1*p2*…*pn, pi都是素数(1<=i<=n) , pi<=pj ( i<=j )
当 i = 2 时,就是上面①的情况,
当 i >2 时, 就是上面②的情况, 对于 i ,第一个能满足筛除 x 的数 y 必然为 y=p2*p3…*pn(p2可以与p1相等或不等),而且满足条件的 y 有且只有一个。所以不会重复删除。
证明合数肯定会被干掉? 用归纳法吧。
类比一个模型,比如说我们要找出 n 中2个不同的数的所有组合 { i , j } ,1<=i<=n, 1<=j<=n,
我们会这么写
for (i=1; i<n; ++i ) for (j=i+1; j<=n; ++j) { ...... }
我们取 j=i+1 便能保证组合不会重复。快速筛法大概也是这个道理,不过这里比较难理解,没那么直观。
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