51nod 最小集合

最小集合





System Message (命题人)

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A君有一个集合。

这个集合有个神奇的性质。

若X,Y属于该集合，那么X与Y的最大公因数也属于该集合。

但是他忘了这个集合中原先有哪些数字。

不过幸运的是，他记起了其中n个数字。

当然，或许会因为过度紧张，他记起来的数字可能会重复。

他想还原原先的集合。

他知道这是不可能的……

现在他想知道的是，原先这个集合中至少存在多少数。

样例解释：

该集合中一定存在的是{1,2,3,4,6}

Input

第一行一个数n(1<=n<=100000)。
第二行n个数，ai(1<=ai<=1000000，1<=i<=n)。表示A君记起来的数字。
输入的数字可能重复。

Output

输出一行表示至少存在多少种不同的数字。

Input示例

5
1 3 4 6 6

Output示例

5

分析: 只想到和倍数有关，之后的就没想出来，还是老老实实看题解吧
官方题解:
观察题目性质。
性质1：该集合中一定存在输入的数字中若干数的最大公因数。
这个证明比较简单，例如我们有 a1, a2, ..., an 这些数，那么 gcd(a1,a2) 一定存在该集合，然后 gcd(a1,a2,a3) 也一定存在该集合，依次类推。
所以我们对于每个数i，都求出在n个数中有多少数是它的倍数,记为 f(i) 。
然后观察 f(2× i), f(3× i), .., f(x× i), ... 中是否存在一个数等于 f(i) ，若不存在，则i一定存在于该集合。
总复杂度为 maxni=1 ai× lg(maxni=1 ai) 。

#include <stdio.h>

const int N = 1000100;
bool vis
;
int cnt
;

int main()
{
int n, x, limit = 0;
scanf("%d", &n);

for(int i = 0; i < n; i++)
{
scanf("%d", &x);
vis[x] = true;
limit = limit < x ? x : limit;
}

for(int i = 1; i <= limit; i++)
for(int j = i; j <= limit; j += i)
{
if(vis[j]) cnt[i]++;
}

int ans = 0;
for(int i = 1; i <= limit; i++)
{
bool ok = true;
if(cnt[i])
{
for(int j = i << 1; j <= limit; j += i)
{
if(cnt[j] == cnt[i])
{
ok = false;
break;
}
}
}
else ok = false;
if(ok) ans++;
}

printf("%d\n", ans);

return 0;
}