切比雪夫不等式的推导证明

切比雪夫不等式的推导证明

@(概率论)

P(|X−EX|≥ϵ)≤DXϵ2

等价的是：

P(|X−EX|<ϵ)≥1−DXϵ2

揭示了几乎所有的值都会几乎接近平均，几乎所有是多少，几乎接近又是多少，切比雪夫不等式就是给出了这个衡量因为是对任意数据集，可想，这个不等式并不是太精确。

以下证明连续型变量。

证明过程：设连续型变量X的密度函数是f(x),事件|X−EX|≥ϵ表示X落在区间(EX−ϵ,EX+ϵ)外部。所以：

P(|X−EX|≥ϵ)=∫|X−EX|≥ϵf(x)dx,此积分范围内：

|X−EX|ϵ≥1⟺(X−EX)2ϵ2≥1

所以,上下限扩大，被积函数也扩大，得到：

P(|X−EX|≥ϵ)≤∫+∞−∞(X−EX)2ϵ2f(x)dx=1ϵ2∫+∞−∞(X−EX)2f(x)dx=DXϵ2

这与前面的一道放缩问题是一个道理。

http://blog.csdn.net/u011240016/article/details/53005577

反之，

P(|X−EX|<ϵ)≥1−DXϵ2

这便是问题的推导过程。