2339: [HNOI2011]卡农

用二进制表示一个音符的集合，那么可用的集合就有2n−1种（空集不可用），那么一段音乐所有音符都含偶数个就可以转化成一段二进制的异或和为0

用f[i]表示n个音符可用的情况下，分成i段，考虑顺序，有多少种方案（先算排列数，最后再将答案转成组合数，复杂度是O(n)的，直接算组合数复杂度O(nlog n)）

设M=2n−1，得到方程

f[i]=Pi−1M−f[i−1]−f[i−2]∗(i−1)∗(M−(i−2))

因为要使整段异或和为0，所以最后一段放的数就是前面的异或和，前面共有Pi−1M种方法。

但是最后一位不能放0（空集不可用），所以要减去前面的异或和为0的情况f[i−1]。

最后一位放的又不能和前面放的相同，假设他和前面某一位置的值相同，那么剩下i-2个位置的异或和为0，有f[i−2]种情况，这一位置的值有M−(i−2)种取法，因为是排列，所以有i-1个位置可取，所以还要减去f[i−2]∗(i−1)∗(M−(i−2))

f[m]乘上m的阶乘的逆元就是答案

code:

#include<set>
#include<map>
#include<deque>
#include<queue>
#include<stack>
#include<cmath>
#include<ctime>
#include<bitset>
#include<string>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<climits>
#include<complex>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
#define inf 1e9
using namespace std;

const ll mod=1e8+7;
const ll maxn = 1e6;

ll f[maxn],n,m;
ll P[maxn];

ll pw(ll x,ll k)
{
x%=mod;
ll ret=1ll,tmp=x;
ll nw=0,tnw=1;
while(nw!=k)
{
if(tnw&k)
{
nw|=tnw;
ret=ret*tmp%mod;
}
tmp=tmp*tmp%mod;
tnw<<=1;
}
return ret;
}

int main()
{
ll mx=1ll;
scanf("%lld%lld",&n,&m);
f[1]=f[2]=0ll;
mx=pw(2ll,n);
mx=(mx-1ll+mod)%mod;
if(m>mx)
{
printf("0\n");
return 0;
}
P[0]=1ll;
for(ll i=1;i<=m;i++)
{
ll la=mx-i+1;if(la<0)la+=mod;
P[i]=P[i-1]*la%mod;
}
for(ll i=3;i<=m;i++)
{
f[i]=P[i-1]-f[i-1];
if(f[i]<0)f[i]+=mod;

ll tmp=(i-1)*f[i-2]%mod,tt=mx-(i-2);
if(tt<0)tt+=mod;

tmp=tmp*tt%mod;
f[i]-=tmp;
if(f[i]<0)f[i]+=mod;
}
ll mm=1;
for(ll i=2;i<=m;i++) mm=mm*i%mod;
mm=pw(mm,mod-2);
f[m]=f[m]*mm%mod;
printf("%lld\n",f[m]);

return 0;
}