【NOIP2008提高组T4】双栈排序-二分图染色
2016-10-30 20:04
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测试地址:双栈排序
做法:这题的做法比较难想,本人也是看了题解才懂。我们来研究两个元素num[i]和num[j]不能被存在同一个栈内的充要条件是什么。这个条件是:存在一个k,使得i<j<k而且num[k]<num[i]<num[j]。先来证充分性,即满足该条件则这两个元素一定不能被存在一个栈中。显然,num[k]要比num[i]先输出,然而弹出num[k]后,一定会先弹出num[j],又因为num[i]<num[j],所以矛盾。再来证必要性,即不满足该条件则这两个元素一定能被存在一个栈中。两种情况:1.对于所有的i<j<k,如果num[i]<num[j],有num[i]<num[k]。2.对于所有的i<j,num[i]>num[j]。第二种情况易看出是一个降序序列,肯定能被存在一个栈中。那么对于第一种情况,因为i<k,num[i]<num[k],所以num[i]先弹出了,而num[k]不会对num[j]产生影响。原因:如果num[j]<num[k],由于该情况中不存在一个r使得j<k<r且num[r]<num[j]<num[k],所以没有影响。如果num[j]<num[k],显然也没有影响。
于是,我们对于所有满足条件的(i,j)之间连边,由于连边的两边一定存在不同的栈里,我们发现这和二分图的性质等价。于是,我们就用染色的方法证明这是不是一个二分图,如果不是即无解。对于一个连通分量(i,j,k,...)(i<j<k<...),将num[i]存在S1中是最优的,字典序最小。然后我们只需模拟入栈出栈的过程来输出操作序列即可。
代码:
做法:这题的做法比较难想,本人也是看了题解才懂。我们来研究两个元素num[i]和num[j]不能被存在同一个栈内的充要条件是什么。这个条件是:存在一个k,使得i<j<k而且num[k]<num[i]<num[j]。先来证充分性,即满足该条件则这两个元素一定不能被存在一个栈中。显然,num[k]要比num[i]先输出,然而弹出num[k]后,一定会先弹出num[j],又因为num[i]<num[j],所以矛盾。再来证必要性,即不满足该条件则这两个元素一定能被存在一个栈中。两种情况:1.对于所有的i<j<k,如果num[i]<num[j],有num[i]<num[k]。2.对于所有的i<j,num[i]>num[j]。第二种情况易看出是一个降序序列,肯定能被存在一个栈中。那么对于第一种情况,因为i<k,num[i]<num[k],所以num[i]先弹出了,而num[k]不会对num[j]产生影响。原因:如果num[j]<num[k],由于该情况中不存在一个r使得j<k<r且num[r]<num[j]<num[k],所以没有影响。如果num[j]<num[k],显然也没有影响。
于是,我们对于所有满足条件的(i,j)之间连边,由于连边的两边一定存在不同的栈里,我们发现这和二分图的性质等价。于是,我们就用染色的方法证明这是不是一个二分图,如果不是即无解。对于一个连通分量(i,j,k,...)(i<j<k<...),将num[i]存在S1中是最优的,字典序最小。然后我们只需模拟入栈出栈的过程来输出操作序列即可。
代码:
#include <cstdio> #include <cstdlib> #include <cstring> #include <iostream> #include <algorithm> #include <stack> using namespace std; stack<int> s1,s2; int n,num[1010]; int g[1010][1010]={0},color[1010]={0}; int small[1010]={0}; bool flag=0; void dfs(int u,int f) { if (color[u]==color[f]) flag=1; else if (!color[u]) { color[u]=color[f]==1?2:1; for(int i=1;i<=n;i++) if (g[u][i]) dfs(i,u); } } void color_g() { for(int i=1;i<=n;i++) if (!color[i]) { color[i]=1; for(int j=1;j<=n;j++) { if (g[i][j]) dfs(j,i); if (flag) break; } if (flag) break; } } int main() { scanf("%d",&n); for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&num[i]); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=n;j>i;j--) if (num[j]<num[i]) {small[i]=j;break;} for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=i+1;j<=n;j++) if (num[i]<num[j]&&small[i]>j) g[i][j]=g[j][i]=1; color_g(); if (flag) {printf("0");return 0;} int now=1; for(int i=1;i<=n;i++) { if (color[i]==1) s1.push(num[i]),printf("a "); else s2.push(num[i]),printf("c "); while(!s1.empty()||!s2.empty()) { int top1=s1.empty()?0:s1.top(),top2=s2.empty()?0:s2.top(); if (top1==now) s1.pop(),now++,printf("b "); else if (top2==now) s2.pop(),now++,printf("d "); else break; } } return 106b0 0; }
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