洛谷 P1710 地铁涨价 （dfs+bfs）

地铁涨价

题目描述

博艾市除了有海底高铁连接中国大陆、台湾与日本，市区里也有很成熟的轨道交通系统。我们可以认为博艾地铁系统是一个无向连通图。博艾有N个地铁站，同时有M小段地铁连接两个不同的站。

地铁计价方式很简单。从A站到B站，每经过一小段铁路（连接直接相邻的两个点的一条边），就要收取1博艾元。也就是说，从A站到B站，选择的路径不一样，要价也会不同。

我们认为凡华中学在1号地铁站。学生们通过地铁通勤，他们当然知道选择最短路来坐车的话，票价最便宜。

然而博艾地铁公司经营不善，一直亏损，于是他们打算提价。提价一次就是将一小段铁路原来收费1元改收2元。同一小段的铁路不会多次提价。他们打算提价Q次。

学生们知道，如果他们到学校的一条最短路径中的一小段提价了，可以改变路径，使总票价不变。然而随着一条一条的铁路被提价，当居住在某个站附近的学生发现，提价后，没有任何一种方案可以从家到学校的费用和初始费用相等时，就会不满。

现在地铁公司希望知道，对于每一次涨价，有多少个站，学生会因为涨价而不满呢？

输入输出格式

输入格式：

第一行为三个整数N,M,Q。

接下来M行，每行2个整数ai,bi,表示第i条铁路连接的两个站。i表示铁路编号。

接下来Q行，每行一行整数rj，表示每次涨价的铁路编号。

输出格式：

Q行。每行一个整数表示不满的车站数量。

输入输出样例

输入样例#1：

5 6 5
1 2
1 3
4 2
3 2
2 5
5 3
5
2
4
1
3

输出样例#1：

0
2
2
4
4

说明

【样例解释】

次数 车站2 车站3 车站4 车站5
初始 1     1     2     2
1    1     1     2     2
2    1     2     2     3
3    1     2     2     3
4    2     2     3     3
5    2     2     4     3

【数据范围】

对于20%的数据 N≤100, Q≤30

对于40%的数据 Q≤30

对于70%的数据 正确的输出结果中，不会有超过50种不一样的整数（数据范围剧透解法系列）

对于100%的数据 N≤100000, Q≤M≤200000

题解：dfs+bfs

如果一条路径涨价了，那么为了达到花费最小的路径，那我们一定不会再走这条边了，所以涨价就等同于删边操作。

我们考虑倒序加边。一个车站会在何时不满呢？一定是他最后一条最短路径被破坏的时候，所以我们倒序加边，当加入一条边的时候，1到该点的路径第一次变成最短路径的长度，那么可知删掉这条边的时候就会不满+1.

我们可以利用bfs O(n)求出1到其他点的最短路径，记作minn[i]

设点x到1的当前路径长度为dis[x]，若dis[x]==minn[x]，则该点为扩展点

通过分析最短路性质发现，某个点v新成为扩展点情况有两种

（1）加边(u,v)更新，且dis[u]==d[u]&&dis[v]==d[u]+1&&d[v]!=dis[v]

（2）邻居u突然成为最终图最短路，且dis[v]==d[u]+1&&d[v]!=dis[v]   

那么我们可以将没有涨价的边先加进去，bfs求出当前的dis。然后倒序加边，如果加边满足情况1，我们就dfs满足情况2的点，并统计该边增加的扩展点的个数。

因为每次点都之后被访问一遍，所以均摊时间复杂度是O(n)。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<queue>
#define N 400003
using namespace std;
int n,m,q,tot;
int point
,v
,dis
,next
,num
,minn
;
int vis
,pd
,x
,y
,a
,ans;
void add(int x,int y)
{
tot++; next[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
tot++; next[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void bfs()
{
queue<int> p;
for (int i=1;i<=n;i++) dis[i]=0;
memset(vis,0,sizeof(vis));
dis[1]=0;
p.push(1); vis[1]=1;
while (!p.empty()){
int now=p.front(); p.pop();
for (int i=point[now];i;i=next[i])
{
if (vis[v[i]]) continue;
vis[v[i]]=1;
dis[v[i]]=dis[now]+1;
p.push(v[i]);
}
}
}
void dfs(int x)
{
ans++;
for (int i=point[x];i;i=next[i])
if (minn[v[i]]==dis[x]+1&&minn[v[i]]!=dis[v[i]]){
dis[v[i]]=dis[x]+1;
dfs(v[i]);
}
}
int main()
{
freopen("a.in","r",stdin);
//freopen("my.out","w",stdout);
scanf("%d%d%d",&n,&m,&q);
for (int i=1;i<=m;i++){
scanf("%d%d",&x[i],&y[i]);
add(x[i],y[i]);
}
bfs();
for (int i=1;i<=n;i++) minn[i]=dis[i];
for (int i=1;i<=q;i++) scanf("%d",&a[i]),pd[a[i]]=1;
tot=0;
memset(point,0,sizeof(point));
memset(next,0,sizeof(next));
for (int i=1;i<=m;i++) if (!pd[i]) add(x[i],y[i]);
bfs();
for (int i=q;i>=1;i--) {
int t=a[i];
add(x[t],y[t]); int u=x[t]; int v1=y[t]; ans=0;
if (dis[u]==minn[u]&&minn[v1]==dis[u]+1&&minn[v1]!=dis[v1])
dis[v1]=dis[u]+1,dfs(v1);
if (dis[v1]==minn[v1]&&minn[u]==dis[v1]+1&&minn[u]!=dis[u])
dis[u]=dis[v1]+1,dfs(u);
num[i]=ans;
}
for (int i=1;i<=q;i++) num[i]+=num[i-1];
for (int i=1;i<=q;i++) printf("%d\n",num[i]);
}