【BZOJ 2038】小Z的袜子【莫队+分块裸题】
2016-10-30 15:48
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Description
作为一个生活散漫的人,小Z每天早上都要耗费很久从一堆五颜六色的袜子中找出一双来穿。终于有一天,小Z再也无法忍受这恼人的找袜子过程,于是他决定听天由命……具体来说,小Z把这N只袜子从1到N编号,然后从编号L到R(L 尽管小Z并不在意两只袜子是不是完整的一双,甚至不在意两只袜子是否一左一右,他却很在意袜子的颜色,毕竟穿两只不同色的袜子会很尴尬。
你的任务便是告诉小Z,他有多大的概率抽到两只颜色相同的袜子。当然,小Z希望这个概率尽量高,所以他可能会询问多个(L,R)以方便自己选择。
Input
输入文件第一行包含两个正整数N和M。N为袜子的数量,M为小Z所提的询问的数量。接下来一行包含N个正整数Ci,其中Ci表示第i只袜子的颜色,相同的颜色用相同的数字表示。再接下来M行,每行两个正整数L,R表示一个询问。Output
包含M行,对于每个询问在一行中输出分数A/B表示从该询问的区间[L,R]中随机抽出两只袜子颜色相同的概率。若该概率为0则输出0/1,否则输出的A/B必须为最简分数。(详见样例)Sample Input
6 41 2 3 3 3 2
2 6
1 3
3 5
1 6
Sample Output
2/50/1
1/1
4/15
【样例解释】
询问1:共C(5,2)=10种可能,其中抽出两个2有1种可能,抽出两个3有3种可能,概率为(1+3)/10=4/10=2/5。询问2:共C(3,2)=3种可能,无法抽到颜色相同的袜子,概率为0/3=0/1。
询问3:共C(3,2)=3种可能,均为抽出两个3,概率为3/3=1/1。
注:上述C(a, b)表示组合数,组合数C(a, b)等价于在a个不同的物品中选取b个的选取方案数。
【数据规模和约定】
30%的数据中 N,M ≤ 5000;60%的数据中 N,M ≤ 25000;
100%的数据中 N,M ≤ 50000,1 ≤ L < R ≤ N,Ci ≤ N。
HINT
Source
版权所有者:莫涛首先对原序列进行分块,√n块每块√n个;
然后对所有查询的区间[l,r]进行排序,首先按l所在的块序号升序排序,如果一样就按r升序排序;
最后就按顺序一个一个求出各个查询的结果:知道[l,r]的答案,并且在此基础上能在比较快地在O(x)得到相邻区间[l+1,r]、[l-1,r]、[l,r-1]、[l,r+1]的答案,那样就能从[l,r]的基础上对lr加加减减得到任意一个区间[l’,r’]的答案。
看似暴力,但这样做的时间复杂度是O(x*n*√n)
l是按其所在块序号排列,同一块里面一次最多√n次++l或–l到达目标;一块最多大概√n次加加减减;总共√n块;所以l改变的次数顶多也就√n*√n*√n。
r在同一块是升序的,所以同一块最多n次++r;下一块时r假设在上一块到达最远,那最多n次–r回到目标;总共√n块;所以r改变次数顶多也就(n+n)*√n。
而每次加加减减转移新答案的代价是x,所以时间复杂度是O(x*n*√n) !
这一题,设每个区间[l,r]各个颜色的袜子数分别为a,b,c,d,…,每个区间[l,r]的答案就是(C2a+C2b+C2c+C2d+⋯)/C2r−l+1,展开化简得:
(a2+b2+c2+d2+⋯−a−b−c−d−⋯)/((r−l+1)∗(r−l+1−1))
(a2+b2+c2+d2+⋯−(r−l+1))/((r−l+1)∗(r−l))
其中(a2+b2+c2+d2+⋯)
便可作为莫队算法处理的区间答案,开个数组记录abcd…的个数可以在O(1)转移到相邻区间。
另外特判区间l=r的情况。。
Ref:http://www.cnblogs.com/WABoss/p/5226684.html
#include<cstdio> #include<cstring> #include<cmath> #include<algorithm> #include<iostream> #include<cctype> using namespace std; #define g() getchar() #define d(x) isdigit(x) char ch;typedef long long ll; template<class T>inline void F(T& x){ for(ch=g();!d(ch);ch=g()); for(x=0;d(ch);x=x*10+ch-'0',ch=g()); } #define rep(i,s,t) for(int i=(s);i<=(t);i++) #define N 50010 int n,m,c ,pos ; struct QueryData{int l,r,id;ll a,b;}qs ; bool cmp1(const QueryData& a,const QueryData& b){ if(pos[a.l]==pos[b.l])return a.r<b.r; else return a.l<b.l; } bool cmp2(const QueryData& a,const QueryData& b) { return a.id<b.id; } #define sqr(x) (x*x) ll s ,ans; ll gcd(ll a,ll b) { return b==0?a:gcd(b,a%b); } void update(int p,int add){ ans-=sqr(s[c[p]]); s[c[p]]+=add; ans+=sqr(s[c[p]]); } int main(){ F(n),F(m); rep(i,1,n)F(c[i]); int block = (int)sqrt(n); rep(i,1,n)pos[i]=(i-1)/block+1; rep(i,1,m)F(qs[i].l),F(qs[i].r),qs[i].id=i; sort(qs+1,qs+1+m,cmp1); int l=1,r=0; rep(i,1,m){ for(;r<qs[i].r;r++) update(r+1,1); for(;r>qs[i].r;r--) update(r,-1); for(;l<qs[i].l;l++) update(l,-1); for(;l>qs[i].l;l--) update(l-1,1); if(qs[i].l==qs[i].r){//特判 qs[i].a=0;qs[i].b=1; continue; } qs[i].a=ans-(qs[i].r-qs[i].l+1); qs[i].b=(ll)(qs[i].r-qs[i].l+1)*(qs[i].r-qs[i].l); ll k = gcd(qs[i].a,qs[i].b); qs[i].a/=k,qs[i].b/=k; } sort(qs+1,qs+1+m,cmp2); rep(i,1,m)printf("%lld/%lld\n",qs[i].a,qs[i].b); return 0; }
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