二维树状数组
2016-10-28 18:18
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求矩阵中任意的前i行前j列和
二、树状数组可以扩充到二维。
问题:一个由数字构成的大矩阵,能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数(可正可负)
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询,输出结果。
一维树状数组很容易扩展到二维,在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为:
C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中,
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
例:举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为:
A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39},
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢?
记:
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组
那么:
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
这是A[][]第一行的一维树状数组
C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组
C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
这是A[][]第三行的一维树状数组
C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗? 仔细研究一下,会发现:
(1)在二维情况下,如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为:
private void Modify(int i, int j, int delta){
A[i][j]+=delta;
for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
C[x][y] += delta;
}
}
(2)在二维情况下,求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为
int Sum(int i, int j){
int result = 0;
for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
result += C[x][y];
}
}
return result;
}
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int c[1000][1000];
int n,m;
int lowbit(int i)
{
return i&-i;
}
void add(int i,int j,int zhi)
{
for(int k=i; k<1000; k+=lowbit(k))
{
for(int p=j; p<1000; p+=lowbit(p))
{
c[k][p]+=zhi;
}
}
}
int sum(int i,int j)
{
int he=0;
for(int k=i; k>0; k-=lowbit(k))
{
for(int p=j; p>0; p-=lowbit(p))
{
he+=c[k][p];
}
}
return he;
}
int main()
{
int a[100][100];
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=-1)
{
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
add(i,j,a[i][j]);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
printf("%d\n",sum(i,j));
}
}
}
}
二、树状数组可以扩充到二维。
问题:一个由数字构成的大矩阵,能进行两种操作
1) 对矩阵里的某个数加上一个整数(可正可负)
2) 查询某个子矩阵里所有数字的和,要求对每次查询,输出结果。
一维树状数组很容易扩展到二维,在二维情况下:数组A[][]的树状数组定义为:
C[x][y] = ∑ a[i][j], 其中,
x-lowbit(x) + 1 <= i <= x,
y-lowbit(y) + 1 <= j <= y.
例:举个例子来看看C[][]的组成。
设原始二维数组为:
A[][]={{a11,a12,a13,a14,a15,a16,a17,a18,a19},
{a21,a22,a23,a24,a25,a26,a27,a28,a29},
{a31,a32,a33,a34,a35,a36,a37,a38,a39},
{a41,a42,a43,a44,a45,a46,a47,a48,a49}};
那么它对应的二维树状数组C[][]呢?
记:
B[1]={a11,a11+a12,a13,a11+a12+a13+a14,a15,a15+a16,...} 这是第一行的一维树状数组
B[2]={a21,a21+a22,a23,a21+a22+a23+a24,a25,a25+a26,...} 这是第二行的一维树状数组
B[3]={a31,a31+a32,a33,a31+a32+a33+a34,a35,a35+a36,...} 这是第三行的一维树状数组
B[4]={a41,a41+a42,a43,a41+a42+a43+a44,a45,a45+a46,...} 这是第四行的一维树状数组
那么:
C[1][1]=a11,C[1][2]=a11+a12,C[1][3]=a13,C[1][4]=a11+a12+a13+a14,c[1][5]=a15,C[1][6]=a15+a16,...
这是A[][]第一行的一维树状数组
C[2][1]=a11+a21,C[2][2]=a11+a12+a21+a22,C[2][3]=a13+a23,C[2][4]=a11+a12+a13+a14+a21+a22+a23+a24,
C[2][5]=a15+a25,C[2][6]=a15+a16+a25+a26,...
这是A[][]数组第一行与第二行相加后的树状数组
C[3][1]=a31,C[3][2]=a31+a32,C[3][3]=a33,C[3][4]=a31+a32+a33+a34,C[3][5]=a35,C[3][6]=a35+a36,...
这是A[][]第三行的一维树状数组
C[4][1]=a11+a21+a31+a41,C[4][2]=a11+a12+a21+a22+a31+a32+a41+a42,C[4][3]=a13+a23+a33+a43,...
这是A[][]数组第一行+第二行+第三行+第四行后的树状数组
搞清楚了二维树状数组C[][]的规律了吗? 仔细研究一下,会发现:
(1)在二维情况下,如果修改了A[i][j]=delta,则对应的二维树状数组更新函数为:
private void Modify(int i, int j, int delta){
A[i][j]+=delta;
for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x))
for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){
C[x][y] += delta;
}
}
private void Modify(int i, int j, int delta){ A[i][j]+=delta; for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x)) for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){ C[x][y] += delta; } }
(2)在二维情况下,求子矩阵元素之和∑ a[i][j](前i行和前j列)的函数为
int Sum(int i, int j){
int result = 0;
for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) {
for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) {
result += C[x][y];
}
}
return result;
}
Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];...
Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];...
Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];
int Sum(int i, int j){ int result = 0; for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) { for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) { result += C[x][y]; } } return result; } 比如: Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];... Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];... Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];
private void Modify(int i, int j, int delta){ A[i][j]+=delta; for(int x = i; x< A.length; x += lowbit(x)) for(int y = j; y <A[i].length; y += lowbit(y)){ C[x][y] += delta; } }
int Sum(int i, int j){ int result = 0; for(int x = i; x > 0; x -= lowbit(x)) { for(int y = j; y > 0; y -= lowbit(y)) { result += C[x][y]; } } return result; } 比如: Sun(1,1)=C[1][1]; Sun(1,2)=C[1][2]; Sun(1,3)=C[1][3]+C[1][2];... Sun(2,1)=C[2][1]; Sun(2,2)=C[2][2]; Sun(2,3)=C[2][3]+C[2][2];... Sun(3,1)=C[3][1]+C[2][1]; Sun(3,2)=C[3][2]+C[2][2];
#include<stdio.h>
#include<string.h>
#include<iostream>
using namespace std;
int c[1000][1000];
int n,m;
int lowbit(int i)
{
return i&-i;
}
void add(int i,int j,int zhi)
{
for(int k=i; k<1000; k+=lowbit(k))
{
for(int p=j; p<1000; p+=lowbit(p))
{
c[k][p]+=zhi;
}
}
}
int sum(int i,int j)
{
int he=0;
for(int k=i; k>0; k-=lowbit(k))
{
for(int p=j; p>0; p-=lowbit(p))
{
he+=c[k][p];
}
}
return he;
}
int main()
{
int a[100][100];
while(scanf("%d %d",&n,&m)!=-1)
{
memset(c,0,sizeof(c));
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
scanf("%d",&a[i][j]);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
add(i,j,a[i][j]);
}
}
for(int i=1; i<=n; i++)
{
for(int j=1; j<=m; j++)
{
printf("%d\n",sum(i,j));
}
}
}
}
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