Tarjan算法求解一个无向图中的割点和桥问题

基本概念

割点：Articulation Point

在无向连通图中，删除一个顶点v及其相连的边后，原图从一个连通分量变成了两个或多个连通分量，则称顶点v为割点，同时也称关节点(Articulation Point)。

双连通的图：一个没有关节点的连通图称为重连通图(biconnected graph)（双连通图）。

连通度：k，若在连通图上至少删去k 个顶点才能破坏图的连通性。

算法应用

算法应用：通信网络中，用来衡量系统可靠性，连通度越高，可靠性越高。

求解方法

暴力求解，依次删除每一个节点v，用DFS（或者BFS）判断是否连通，再把节点加入图中。若用邻接表（adjacency list），需要做V次DFS，时间复杂度为O(V∗(V+E))O(V∗(V+E))

Jarjan算法，只用一次DFS求解。

第一个方法不多说：

对于第二个方法

我们要维持两个数据结构：

dfn[u]：记录节点u在DFS过程中被遍历到的次序号。

low[u]：记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小）。

其中对于low[u]的理解是这样的：当(u,v)为树边时，且v没有被访问过，则low[u]是min(low[u]和low[v])。当v被访问过，如果v不是u的父节点（如果是则说明有重边，不考虑），则（u,v）为回边，则low[u]取min(low[u], dfn[v])。

代码思路解析

#include<iostream>
#include<vector>
#include<fstream>
using namespace std;
#define N 201
vector<int>G
;
bool visit
;
int dfn
;
int low
;
int parent
;
int min(int a, int b)
{
if (a < b) return a;
else return b;
}
void input()
{
int n, m;//分别表示顶点数和边数
ifstream in("input.txt");
in >> n >> m;
int a, b;
for (int i = 1; i <= m; ++i)
{
in >> a >> b;
G[a].push_back(b);/*邻接表储存无向边*/
G[b].push_back(a);
}
}

void dfs(int u)
{
//记录dfs遍历次序
static int counter = 0;
//记录节点u的子树数
int children = 0;
visit[u] = true;
//初始化dfn与low
dfn[u] = low[u] = ++counter;
for (int j = 0; j < G[u].size(); j++)//遍历与u相连的顶点
{
int v = G[u][j];
if (!visit[v])
{
children++;
parent[v] = u;//u是v的父节点
dfs(v);//深度优先搜索v
low[u] = min(low[u], low[v]);//等v完成深度优先搜索之后，low[u]记录节点u或u的子树通过非父子边追溯到最早的祖先节点（即DFS次序号最小）
if (parent[u] == -1 && children > 1)//对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
{
cout << "1 articulation point: " << u<<endl;
}
if (parent[u] != -1 && low[v] >= dfn[u])//对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边（条件low[v] >= dfn[u]表达的就是），说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。
{
cout << "2 articulation point: " << u << endl; //这样做，可能出现某个顶点多次输出，其实可以用一个指示变量来指示，做到顶点不重复输出
}
if (low[v] >dfn[u]) //桥的条件
{
cout << "Bridge " << v << " " << u << endl;
}

}
else if (v != parent[u]) {//节点v已访问，则(u,v)为回边,且不是重边
low[u] = min(low[u], dfn[v]);
}
}

}

int main()
{
/*input();
memset(dfn, -1, sizeof(dfn));
memset(father, 0, sizeof(father));
memset(low, -1, sizeof(low));
memset(is_cut, false, sizeof(is_cut));
count();*/
memset(dfn, -1, sizeof(dfn));
memset(low, -1, sizeof(low));
memset(visit, false, sizeof(visit));
memset(parent, -1, sizeof(parent));
input();
dfs(1);
system("pause");
return 0;
}

参考

两个很好的讲解很详细的参考资料：

http://www.cnblogs.com/en-heng/p/4002658.html

http://www.cnblogs.com/c1299401227/p/5402747.html