如何處理signed integer的加法運算與overflow? (SOC) (Verilog)

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真 OO无双

http://www.cnblogs.com/oomusou/archive/2009/10/31/verilog_signed_overflow.htmAbstract若要將原本用軟體實現的演算法用硬體電路實現，馬上會遇到2個很基本的問題：一個是如何處理負數?另一個是如何處理overflow?雖然很基本，但一旦有問題卻很難debug。Introduction[b]使用環境：NC-Verilog 5.4 + Debussy 5.4 v9[/b]一般在開發演算法階段，我們會使用C/C++這些高階語言開發，C/C++處理負數乘加運算都很方便與直覺，也不用太擔心overflow的問題，主要是int是4 byte(32 bit)夠大，要overflow也不太容易，若一旦要用硬體電路實現，馬上就面臨2個基本的問題，硬體要怎麼處理負數?要怎麼處理overflow?Verilog在宣告reg與wire時，雖然能使用+ – * /，並合成出相對的加法器、乘法器與除法器，但這些都是無號數(unsigned integer)運算，也就是說只能做大於或等於0的整數加減乘除運算，無法處理負數運算；除此之外，不像C/C++的int就是32 bit，為了節省硬體cost，我們會根據值域，小心的宣告reg與wire的bit數，如只有4 bit或8 bit而已，這樣經過運算後，可能在某個boundarytest pattern下，一不小心就overflow了。在(原創) 無號數及有號數的乘加運算電路設計 (IC Design) (Verilog) (OS) (Linux)與(原創)如何設計乘加電路? (SOC) (Verilog) (MegaCore)中，我都曾經討論過這個問題，這次打算更仔細重新討論，並將overflow議題一並考慮。本文先討論加法運算部分，乘法部分將另開專文討論之‧Verilog的運算Verilog所提供的運算分unsigned與signed兩種：Unsigned：不含signed bit以4 bit來說，值域從0000~1111，也就是0 ~ 15Signed：含signed bit(MSB為signed bit，1為負，0為正，負數使用2補數表示)以4 bit來說，值域從1000~0111，也就是-8 ~ +7二進位signed加法運算在真正開始使用Verilog做signed加法運算前，我們先來看看實際上二進位singed加法是如何運算?Normal Condition (沒有Overflow)(+6) + (-3) = (+3)為了節省resource，我們故意使用4 bit的+6與3 bit的-3相加，若直接將兩個signed值相加，答案為-7，很顯然答案並不正確‧因為4 bit與3 bit相加，結果可能進位到5 bit，正確的作法是將4 bit的+6做signed extension到5 bit，且3 bit的-3也要做signed extension到5 bit後，然後才相加，若最後進位到6 bit，則不考慮6 bit的值‧ 在此補充一下何謂Singed Extension?簡單的說，當以較多bit顯示signed型態的值時，重複signed bit補齊‧就意義上來說，就是3 bit的signed值若要以5 bit表示時，必須補上signed bit才能在5 bit表示，所以101要變成11101‧Boundary Condition (正Overflow)(+7) + (+3) = (+10)為了節省resource，我們一樣故意使用4 bit的+7與3 bit的+3相加，若直接將兩個signed值相加，答案為-6，很顯然答案並不正確。根據上個例子的經驗，+7與+3必須做signed extension才能相加，這樣才能得到正確答案+10‧不過現在問題來了，+10必須動到5 bit才能顯示，若輸出的值域為4 bit，只能-8 ~ +7，+10很顯然已經正overflow了‧若只能以4 bit表示，因為是正的，MSB必須是0(SUM[3]=0)，所以若MSB是1就表示由進位而來，也就是正overflow了(此例的SUM[3]為1，所以已經正overflow)，再加上因為目前運算結果為5 bit，且是正，所以SUM[5]必須為0。也就是說，若SUM[5]=0且SUM[4]=1時，為正overflow，所以01010對於4 bit來說，是正overflow。Boundary Condition (負Overflow)(-5) + (-4) = (-9)同樣為了節省resource，我們故意使用4 bit的-5與3 bit的-4相加，若直接將兩個signed值相加，答案為-1，很顯然的答案並不正確‧根據前面兩個例子，-5與-4一樣必須做signed extension才能相加，這樣才能得到正確答案-9‧進位到6 bit的1要捨去，所以答案是10111‧問題一樣來了，-9必須動到5 bit才能顯示，若輸出的值域是4 bit，只能-8 ~ +7，-9很顯然已經是負overflow了‧若只能以4 bit表示，因為是負的，MSB必須是1(SUM[3]=1)，所以若MSB是0就表示由進位而來，也就是負overflow了(此例的SUM[3]為0，所以已經負overflow)，再加上因為目前運算結果為5 bit，且是負，所以SUM[5]必須為1‧也就是說，若SUM[5]為1且SUM[4]為0時，為負overflow，所以10111對於4 bit來說，是負overflow‧二進位Signed加法運算Summary根據之前三個實際的例子，我們得到以下結論m bit + m bit => (m+1) bitm bit + n bit => (m+1) bit，其中n < mm bit與n bit都必須先做signed extension到(m+1) bit才能相加若結果有到(m+2) bit則忽略之，實際的結果為(m+1) bit若Sum[m+1] ^ Sum[m]為1，表示有overflow若Sum[m+1]為0且Sum[m]為1，則為正overflow若Sum[m+1]為1且Sum[m]為0，則為負overflow 使用Verilog實現signed_add.v / Verilog

Filename    : signed_add.v
Simulator   : NC-Verilog 5.4 + Debussy 5.4 v9
Description : signed add & overflow
Release     : Oct/24/2009 1.0
*/

module signed_add (
clk,
rst_n,
a_i,
b_i,
sum_o
);

input clk;
input rst_n;
input [3:0] a_i;
input [2:0] b_i;
output [3:0] sum_o;

reg [4:0] sum_t;
always@(posedge clk or negedge rst_n)
if (~rst_n)
sum_t <= 5'h0;
else
sum_t <= {a_i[3], a_i} + {{2{b_i[2]}}, b_i};

assign sum_o = (~sum_t[4] &  sum_t[3]) ? 4'b0111 : // + overflow
( sum_t[4] & ~sum_t[3]) ? 4'b1000 : // - overflow
sum_t[3:0];
endmodule

20 ~ 22行

input [3:0] a_i;
input [2:0] b_i;
output [3:0] sum_o;

輸入一個為3 bit，一個為4 bit，輸出為4 bit，與之前舉的例子一樣

29行

sum_t <= {a_i[3], a_i} + {{2{b_i[2]}}, b_i};

將4 bit的a_i做signed extension到5 bit，將3 bit的b_i做signed extension到5 bit‧31行

(~sum_t[4] &  sum_t[3]) ? 4'b0111 : // + overflow

判斷是否為正overflow，若sum_t[4]為0且sum_t[3]為1，則為正overflow

( sum_t[4] & ~sum_t[3]) ? 4'b1000 : // - overflow

判斷是否為負overflow，若sum_t[4]為1且sum_t[3]為0，則為負overflow‧

Filename    : signed_add_tb.vSimulator   : NC-Verilog 5.4 + Debussy 5.4 v9Description : signed add & overflow testbenchRelease     : Oct/24/2009 1.0*/`include "signed_add.v"module signed_add_tb;reg clk;reg rst_n;reg [3:0] a_i;reg [2:0] b_i;wire [3:0] sum_o;// 4 bit// -8 ~ +7// 3 bit// -4 ~ +3initial begin//a_i <= 4'b0000;//b_i <= 3'b000;a_i <= 4'd0;b_i <= 3'd0;// normal// (+6) + (-3)#10;//a_i <= 4'b0110;//b_i <= 3'b101;a_i <= 4'd6;b_i <= -3'd3;// overflow// 7 + 3 = 10#20;//a_i <= 4'b0111;//b_i <= 3'b011;a_i <= 4'd7;b_i <= 3'd3;// underflow// (-5) + (-4)#20;//a_i <= 4'b1011;//b_i <= 3'b100;a_i <= -4'd5;b_i <= -3'd4;#20;//a_i <= 4'b0000;//b_i <= 3'b000;a_i <= 4'd0;b_i <= 3'd0;endinitial clk = 1'b0;always #10 clk = ~clk;initial beginrst_n = 1'b0;#5;rst_n = 1'b1;endinitial begin$fsdbDumpfile("signed_add.fsdb");$fsdbDumpvars(0, signed_add_tb);#100;$finish;endsigned_add signed_add0 (.clk(clk),.rst_n(rst_n),.a_i(a_i),.b_i(b_i),.sum_o(sum_o));endmodule

模擬結果

7 + 3 = 10，因為已經正overflow，所以使用4 bit最大值+7表示‧(-5) + (-4) = (-9)，因為已經負overflow，所以使用4 bit最小值-8表示‧

完整程式碼下載signed_add.7zConclusion本文詳細討論了在數位電路與Verilog中，如何執行帶負數的加法，以及如何判斷overflow等課題，雖然非常基本，但在使用硬體實現演算法時卻非常重要，下一次將討論如何在數位電路與Verilog實現帶負數的乘法‧