对于动态规划的一些整理

最近无聊的我，发现自己好水，自己似乎对动态规划有些生疏了。所以，打算来一个小小的整理：

分类：

动态规划：1）线性动规：拦截导弹；

     2）区域动规；

   
     3）树形动规；

    
     4）背包动规：01背包，部分背包，完全背包，多维背包问题；

应用：

最短路径问题；

理解：

动态规划算法通常是基于一个递推公式或者多个初始状态，当前子问题可以通过上一子问题的解推出，所以是多项式时间复杂度，所以，其效率会

高。

｛Tip1:多项式时间复杂度：最小的复杂度类别一个问题的计算时间m(n)不大于问题大小n的多项式倍数｝

然后是一个简单的例子（来源：http://www.360doc.com/content/13/0601/00/8076359_289597587.shtml）：

如果我们有面值为1元、3元和5元的硬币若干枚，如何用最少的硬币凑够11元？ (表面上这道题可以用贪心算法，但贪心算法无法

保证可以求出解，比如1元换成2元的时候)

首先我们思考一个问题，如何用最少的硬币凑够i元(i<11)？为什么要这么问呢？两个原因：1.当我们遇到一个大问题时，总是习

惯把问题的规模变小，这样便于分析讨论。 2.这个规模变小后的问题和原来的问题是同质的，除了规模变小，其它的都是一样的，

本质上它还是同一个问题(规模变小后的问题其实是原问题的子问题)。

好了，让我们从最小的i开始吧。当i=0，即我们需要多少个硬币来凑够0元。由于1，3，5都大于0，即没有比0小的币值，因此凑

够0元我们最少需要0个硬币。 (这个分析很傻是不是？别着急，这个思路有利于我们理清动态规划究竟在做些什么。) 这时候我们

发现用一个标记来表示这句“凑够0元我们最少需要0个硬币。”会比较方便，如果一直用纯文字来表述，不出一会儿你就会觉得

很绕了。那么，我们用d(i)=j来表示凑够i元最少需要j个硬币。于是我们已经得到了d(0)=0，表示凑够0元最小需要0个硬币。

当i=1时，只有面值为1元的硬币可用，因此我们拿起一个面值为1的硬币，接下来只需要凑够0元即可，而这个是已经知道答案

的，即d(0)=0。所以，d(1)=d(1-1)+1=d(0)+1=0+1=1。当i=2时，仍然只有面值为1的硬币可用，于是我拿起一个面值为1的

硬币，接下来我只需要再凑够2-1=1元即可(记得要用最小的硬币数量)，而这个答案也已经知道了。

所以d(2)=d(2-1)+1=d(1)+1=1+1=2。一直到这里，你都可能会觉得，好无聊，感觉像做小学生的题目似的。因为我们一直都

只能操作面值为1的硬币！耐心点，让我们看看i=3时的情况。当i=3时，我们能用的硬币就有两种了：1元的和3元的( 5元的仍然

没用，因为你需要凑的数目是3元！5元太多了亲)。既然能用的硬币有两种，我就有两种方案。如果我拿了一个1元的硬币，我的

目标就变为了：凑够3-1=2元需要的最少硬币数量。即d(3)=d(3-1)+1=d(2)+1=2+1=3。这个方案说的是，我拿3个1元的硬币

；第二种方案是我拿起一个3元的硬币，我的目标就变成：凑够3-3=0元需要的最少硬币数量。

即d(3)=d(3-3)+1=d(0)+1=0+1=1. 这个方案说的是，我拿1个3元的硬币。好了，这两种方案哪种更优呢？记得我们可是要用

最少的硬币数量来凑够3元的。所以，选择d(3)=1，怎么来的呢？具体是这样得到的：d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}。

好了，这个就是动态规划的基本思想的体现了，然后，我们抽象出两个东西：状态与转移方程。

来到解释时间，状态就是就是根据子问题，从而得到的解，就像子问题是，凑够3元，我们需要几个硬币，d（3）=1；

然后，转移方程就是d(3)=min{d(3-1)+1, d(3-3)+1}；

以上，就完成了对动态规划的思路的分析。。

最后，是关于解决问题时候的应用。

最主要的是能够寻找到，转移方程，以及将问题规模减小的思考方法。。

暂时就这么多了，其他的以后想起来，再说吧。。