【bzoj 十连测】[noip2016十连测第八场]Problem A: 神炎皇（数学相关：线性筛）

Problem A: [noip2016十连测第八场]神炎皇

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Description

神炎皇乌利亚很喜欢数对，他想找到神奇的数对。

对于一个整数对(a,b)，若满足a+b<=n且a+b是ab的因子，则成为神奇的数对。请问这样的数对共有多少呢？

Input

一行一个整数n,n<=100000000000000

Output

一行一个整数表示答案，保证不超过64位整数范围。

Sample Input

21

Sample Output

11

HINT

【题解】【数学相关】
【撑着头想了半晚上。。。然后，脑子里莫名想到：求一个gcd(a,b)=d,然后求(a'+b')*d|a'*b'*d²的个数，这样一来，必然有：(a'+b')*d<=n,就可以在根号n的范围内求a'+b'。然后、我就不知道了。。。心塞心塞】

【莫名爆正解。。。其实我想的思路是对的，只是没有考虑到接下来该怎么办。仔细观察(a'+b')*d|a'*b'*d²=>(a'+b')|a'*b'*d，我们可以发现：a'、b'互质，那么它们乘起来必然除了1和它本身及a'、b'外，没有其他因子。那么，在这种情况下，想要上式成立，必须要(a'+b')|d，那么，我们要求(a'+b')=k，在这种情况下，我们只需要求gcd(a',k)=1和gcd(b',k)=1的种类数，因为如果a'或b‘与k有公因数，那么K可以再缩小。那么，d*k<=n
=> d<=(n/k²),求<=k的范围内有多少数与K互质，即求φ(k),线性筛求解】 

#include<cmath>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,ans;
int prime[10000010],phi[10000010];
bool p[10000010];
inline void shai()
{
phi[1]=1;
for(int i=2;i<=m;++i)
{
if(!p[i])
{
p[i]=1;
prime[++prime[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=prime[0];++j)
{
if((ll)i*prime[j]>m) break;
p[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]) phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
else {phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j]; break; }
}
ans+=(ll)phi[i]*(ll)(n/i/i);
}
}
int main()
{
scanf("%lld",&n);
m=sqrt(n);
shai();
printf("%lld\n",ans);
return 0;
}