【51Nod 1086】背包问题 V2

Description

有N种物品，每种物品的数量为C1，C2……Cn。从中任选若干件放在容量为W的背包里，每种物品的体积为W1，W2……Wn（Wi为整数），与之相对应的价值为P1,P2……Pn（Pi为整数）。求背包能够容纳的最大价值。

Solution

这是一个经典的有限背包问题，但是它需要优化复杂度。

他用到了一个很奇妙也很机智的思想：每个数可以用二进制来表示。

二进制优化

因为每个数的个数如果逐个枚举的话，那么会有很多冗余的状态。

每个数可以拆成：1+2+4+…+(m-sum)

每次直接用上面的数字的个数来转移就好了。

为什么可以这样呢？因为一个数可以表示为二进制，那么就是说可以有好多个二的次幂加起来。

时间复杂度优化到O(nmlog(m))

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define fo(i,a,b) for(i=a;i<=b;i++)
#define fod(i,a,b) for(i=a;i>=b;i--)
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn=107,mxx=50007;
ll i,j,k,l,t,n,m,ans;
ll w,p,c,f[mxx];
int main(){
scanf("%d%d",&n,&m);
fo(i,1,n){
scanf("%lld%lld%lld",&w,&p,&c);
for(j=1;j<=c;c-=j,j*=2){
fod(k,m,j*w){
f[k]=max(f[k],f[k-j*w]+j*p);
}
}
if(!c)continue;
fod(k,m,c*w){
f[k]=max(f[k],f[k-c*w]+c*p);
}
}
fod(i,m,0)ans=max(ans,f[i]);
printf("%lld\n",ans);
}