[BZOJ1630/2023][Usaco2005 Nov]Ant Counting 数蚂蚁（dp）

题目描述

传送门

题解

题目实际上是要我们求“有重复元素的组合数”问题，这道dp模型非常经典。

首先将数预处理，将相同的元素合并成一项，并记录每一种元素的数量cnt[i]。设f(i,j)表示在前i种元素中选出j个的方案数。那么f(i,j)=∑k=0min(cnt[i],j)f(i−1,j−k)

但是裸的dp的话时间和空间都是爆掉的。空间方面加一个滚动数组就可以了，时间可以用前缀和优化。

代码

暴力dp

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 1005
#define Mod 1000000

int t,a,s,b,ans,n;
int fa[N],cnt[N],sc[N],f[N][N];

int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&t,&a,&s,&b);
for (int i=1;i<=a;++i)
{
scanf("%d",&fa[i]);
cnt[fa[i]]++;
}
sort(fa+1,fa+a+1);
n=unique(fa+1,fa+a+1)-fa-1;
for (int i=1;i<=n;++i) sc[i]=sc[i-1]+cnt[fa[i]];
f[0][0]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
for (int j=0;j<=sc[i];++j)
for (int k=0;k<=min(j,cnt[fa[i]]);++k)
f[i][j]=(f[i][j]+f[i-1][j-k])%Mod;
for (int i=s;i<=b;++i)
ans=(ans+f
[i])%Mod;
printf("%d\n",ans);
}

AC code

#include<algorithm>
#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 100005
#define Mod 1000000

int t,a,s,b,ans,n;
int fa[N],cnt[N],sc[N],f[2][N],ss[2][N];

int main()
{
scanf("%d%d%d%d",&t,&a,&s,&b);
for (int i=1;i<=a;++i)
{
scanf("%d",&fa[i]);
cnt[fa[i]]++;
}
sort(fa+1,fa+a+1);
n=unique(fa+1,fa+a+1)-fa-1;
for (int i=1;i<=n;++i) sc[i]=sc[i-1]+cnt[fa[i]];
f[0][0]=1;
for (int i=0;i<=100000;++i) ss[0][i]=1;
for (int i=1;i<=n;++i)
{
memset(f[i&1],0,sizeof(f[i&1]));
memset(ss[i&1],0,sizeof(ss[i&1]));
for (int j=0;j<=sc[i];++j)
{
int x=ss[(i-1)&1][j];
f[i&1][j]=(f[i&1][j]+ss[(i-1)&1][j])%Mod;
if (j-min(j,cnt[fa[i]])-1>=0)
{
int y=ss[(i-1)&1][j-min(j,cnt[fa[i]])-1];
f[i&1][j]=(f[i&1][j]-ss[(i-1)&1][j-min(j,cnt[fa[i]])-1])%Mod;
}
ss[i&1][j]=(ss[i&1][j-1]+f[i&1][j])%Mod;
}
for (int j=sc[i]+1;j<=100000;++j) ss[i&1][j]=ss[i&1][j-1];
}
for (int i=s;i<=b;++i)
ans=(ans+f[n&1][i])%Mod;
printf("%d\n",ans);
}

总结

①使用滚动数组的时候每一次要将当前的一维清0。

②前缀和优化要注意：后面全是0的部分要全部赋为最后一个有值的数。否则就会减出负数来。