关于切割绳子的思考

首先看一个问题,假设在一根θ米长绳子的绳子上面任意作n个记号,取其中离端点最近的作为样本x(1),那么样本的期望是多少?

因为x(1)是样本最小,所以F(x≤x1)=1−F(x≥x1)=1−(θ−x1θ)n

注意到F(x1)=∫x10f(x)dx

E(x1)=∫θ0f(x1)x1dx1=F(θ)∗θ−∫θ0F(x1)dx1

经计算得:F(θ)∗θ=θ...(1)

∫θ0F(x1)dx1=∫θ0(1−(θ−x1θ)n)dx1=θ−θ(n+1)

带入上式得:E(x1)=θ(n+1)

有了上面的基础,我们来看一个更加复杂的问题:一个1米长的绳子,如果切割n次,那么最短的一段的期望是多少?

这个问题看似与上面的相似,其实不同。其本质区别在于这里的n次取样是相互影响的。为了解决这个问题,我们可以模仿问题1的解决思路。

把最短的长度计作x1,x为任意样本.

注意到F(x≤x1)=1−F(x≥x1)=1−(1−nx1)(n−1)

理解:这个式子可以理解为让先保证每一段绳子都有x1,然后将剩下的部分进行分割然后分配给前面的绳子.

E(x1)=∫1n0x1f(x1)dx1=F(1n)∗1n−∫1n0F(x1)∗dx1...(1)

F(1n)∗1n=1n

∫1n0F(x1)∗dx1=1n−1n∫10tn−1dt....（换元计算）

=1n−1n2

所以带入计算得到E(x1)=1n2