高数笔记：函数与极限

函数
数域

证明无理数

实数域

绝对值不等式

证明无理数在数轴上处处稠密

基本初等函数

有界函数

特殊函数

极限
定义极限

夹逼定理

重要极限

函数

数域

数域是对加减乘除闭合的数集合。

有理数集合Q是一个数域。

Q={mn|m,n∈Z,n>0,(m,n)=1}

证明无理数

设p为正素数，求证：p√为无理数

证明：下面用反证法证明。

假设p√为有理数，则存在正整数m,n，(m,n)=1且p√=mn

对等式两边取平方得pn2=m2，故(m,p)=p

设m=kp，则pk2=n2，故(n,p)=p

得(m,n)=p,与(m,n)=1矛盾，故p√为无理数，证毕

实数域

实数集合R为有序数域，即任意两个数有大小关系。

实数域的完备性（连续性）：任意一个单调有界序列有极限存在。

绝对值不等式

|a|−|b|<|a±b|<|a|+|b|

|x - a| < r 即 a - r < x < a + r

|x - a| > r 即 x > a + r 或 x < a - r

证明无理数在数轴上处处稠密

证明：设An={m10n|m∈Z}使得1102<(b−a)即1+10na<10nb

则A⊆Q且a<[10na]+110n<b，证毕

基本初等函数

常数函数：

y=c(x∈R)

幂函数：

y=xa(a≠0)(x>0)

指数函数：

y=ax(a>0且a≠1)(x∈R)

对数函数：

y=logax(a>0且a≠1)(x∈(0,+∞))

三角函数：

y=sinx y=cosx y=tanx

y=cotx y=secx y=cscx

反三角函数：

y=arcsinx y=arccosx y=arctanx

初等函数是基本初等函数经过有限次四则运算与复合得到的函数。

有界函数

若∃C，|f(x)|≤C，∀x∈X ，则f(x)为有界函数

特殊函数

狄利克雷函数

D(x) =

1，x为有理数

0，x为无理数

双曲函数

sinhx=ex−e−x2 coshx=ex+e−x2

极限

定义极限

对数列{an}，若∃l0，对∀ϵ>0，∃N使得|an−l0|<ϵ，只要n>N

则{an}的极限存在，limn→+∞an=l

夹逼定理

设{an}{bn}{cn}，∃N0使得cn≤an≤bn，只要n≥N0

则当limn→+∞cn=limn→+∞bn=l时，an极限存在，limn→+∞an=l

重要极限

limn→+∞(1+1n)n=e≈2.182818