已知基础解系反求有效方程(矩阵)

已知基础解系反求有效方程(矩阵)

@(数学)

这个是很有趣的推导过程，原理需要弄清楚。

即：已知Ax = 0的基础解系，由Ax = 0的系数行向量与解向量的关系可以反过来求解A.

具体推导如下：

齐次方程组：

⎧⎩⎨⎪⎪a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=0a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=0................................an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=0

有解βi=[bi1,bi2,bi3,bi4,...,bin]T,即：

ai1bi1+ai2bi2+ai3bi3+...+ainbin=0

记αi=[ai1,ai2,ai3,...,ain]，上面的式子可以转化为：

αiβi=0

转置可得：βTiαT=0,β是列向量

也即：βTiAT=0

这个式子的解读为：以基础解系βi构成转置矩阵为该系数矩阵，该方程组的解（AT列向量）即为A的行向量。注意到解向量一般是列向量，这里恰好对应的是A的转置，也即求得的解向量即为A的行向量。

简单运用起来就是，把基础解系的线性无关向量，写成行向量，往下排起来，组成一个矩阵B，则去解Bx=0，得到的基础解系恰好是待求的A的行向量。

此外，更好的从第一原理推导的思路不是从完全展开思考。而是从Ax=0着手。比如假定Ax=0有i个基础解系:β1,β2,...,βi。则：

Aβ1=0;Aβ2=0;Aβ3=0;...Aβi=0;

即：A(β1,β2,...,βi)=0

现在已知基础解系，则把基础解系的组成的矩阵拿到A的左边，就可以用我们比较喜欢用的初等行变换思考了。按照上面的列式，实际上可以直接进行初等列变换求解。但是不常用。

那么，只用注意到分块矩阵的转置是公转自转一起来，就很容易可以得到：

⎡⎣⎢⎢⎢⎢βT1βT2...βTi⎤⎦⎥⎥⎥⎥AT=0

和上面得到的结论一致。注意我写的字母不一定完全一致。

上面是抽象的部分，下面是实际的应用，更加容易理解掌握。

已知两个方程四个未知量的齐次线性方程组的通解为X=k1[1,0,2,3]T+k2[0,1,−1,1]T,求原齐次线性方程。

一般来说，一个过程的逆过程往往是好解的，因为只需要过程逆向即可。但也有一部分需要换新的思路才能回去。本篇中出现的逆过程实际上是新的思路。

解：不妨令ξ1=[1,0,2,3]T,ξ2=[0,1,−1,1]T

于是问题转成A[ξ1,ξ2]=0,→[ξ1,ξ2]TAT=0,变成以[ξ1,ξ2]T为系数矩阵的方程解的问题求解。

这里是具体的数，可以不用管“公转自转的问题，即：

[ξT1ξT2]AT=0

公转：宏观的行变列，具体的行内部也转置。

[10012−131]AT=0

通常系数矩阵的右部是一个向量，这里的右部是多个向量，只需要对AT列分块就是一样的了。

因此我们只需要求得：

[10012−131]y=0

得出：

y1=[−2,1,1,0]T,y2=[−3,−1,0,1]T

解向量是列向量，对应的是A的行向量。因此：

A=[−2−31−11001]

由此可写出原方程组：

{−2x1+x2+x3=0−3x1−2x2+x4=0

The End