【Derivation】正态分布特征函数证明-X~N(a,sigma^2)

求证：φ（u）=ejau−12u2σ2 ,t∈R

证：

φ（u）=∫+∞−∞ejuxf(x)dx =∫+∞−∞ejux12πσ2−−−−√e−(x−a)22σ2dx

整理，得：

φ（u）=12πσ2−−−−√∫+∞−∞ejuxe−(x−a)22σ2dx

beacuse |jxejuxe−(x−a)22σ2|≤|x|ejuxe−(x−a)22σ2 and 12π√|x|ejuxe−(x−a)22σ2<+∞ , so可以对φ（u）求u的一阶导数，

有： φ′（u）=12πσ2−−−−√∫+∞−∞jx ejuxe−(x−a)22σ2dx

综合可推：

j(u−jaσ2)φ(u)+jφ′(u)σ2= 12πσ2−−−−√∫+∞−∞(ju−x−aσ2) ejuxe−(x−a)22σ2dx=12πσ2−−−−√∫+∞−∞(ju−x−aσ2) ejux−(x−a)22σ2dx =12πσ2−−−−√∫+∞−∞1dejux−(x−a)22σ2=12πσ2−−−−√[ejux−(x−a)22σ2]|+∞−∞=0

即得微分方程

uφ(u)−jaσ2φ(u)+φ′(u)σ2=

(uσ2−ja)φ(u)+φ′(u)=0

即得微分方程

++++分水岭，从后往前推+++++++

φ(u)+φ′(u)uσ2−ja

=uφ(u)+φ′(u)σ2−jau=0

求解：

φ′(u)φ(u)=−uσ2+ja

解得：lnφ(u)=−12u2D(x)+jau+C

进一步化简：

φ(u)=eCe−12u2D(x)+jau

令u=0,eC=φ(0)=E[E(j0X)]=E[e0]=1,故C=0;

代入通解为：

φ(u)=ejau−12u2D(x)

由以上推导，正态分布特征函数表达式 得证