欧拉工程第6题 平方和与和平方的差是多少

题目

前十个自然数的平方和是：12+22+⋯+102=385

前十个自然数的和的平方是：(1+2+⋯+10)2=552=3025

所以平方和与和的平方的差是3025−385=2640

找出前一百个自然数的平方和与和平方的差。

解题方法

等差数列{An=n}的前n项和为SA，SA=n(n+1)2

数列{Bn=n2}的前n项和为SB，SB=n(n+1)(2n+1)6

下面求证如何求得SB。

(n+1)3−n3=3n2+3n+1

n3−(n−1)3=3(n−1)2+3(n−1)+1

……

23−13=3×12+3×1+1

将以上式子左边全部相加，写在左边，右边全部相加，写在右边，等式仍然成立，得到式子：(n+1)3−1=3×(12+22+⋯+n2)+3×(1+2+⋯+n)+n

化简得：n3+3n2+3n=3×(12+22+⋯+n2)+3×n(n+1)2+n

最终得到：12+22+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)6

求证完毕。

那么，要求的结果就是：result=S2A−SB=(100×1012)2−100×101×2016=25164150