动态规划——寻找子矩阵最大和
2016-10-14 22:07
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最大和
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难度:5
描述
给定一个由整数组成二维矩阵(r*c),现在需要找出它的一个子矩阵,使得这个子矩阵内的所有元素之和最大,并把这个子矩阵称为最大子矩阵。
例子:
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
其最大子矩阵为:
9 2
-4 1
-1 8
其元素总和为15。
输入
第一行输入一个整数n(0<n<=100),表示有n组测试数据;
每组测试数据:
第一行有两个的整数r,c(0<r,c<=100),r、c分别代表矩阵的行和列;
随后有r行,每行有c个整数;
输出
输出矩阵的最大子矩阵的元素之和。
样例输入
1
4 4
0 -2 -7 0
9 2 -6 2
-4 1 -4 1
-1 8 0 -2
样例输出
15
这道题初看有点复杂,是因为矩阵是二维形式。
回想一下,曾经对一维数组做过找出连续非空字串,使得该子序列之和最大。这里本质上也是要做同样的事情,只不过这里要找的是子矩阵。
有两个问题需要考虑。
第一,如何更简单地计算出一个子矩阵的和?
先考虑一维数列。我们存储的时候就不再单独存储每个位置的值是多少,而是存储从起始到该位置,所有元素之和是多少。所以,在数据录入的时候,就应该是
num[i]+=num[i-1],这样,要计算从j到i的数据之和,直接
num[i]-num[j-1]就能直接得出了。推广到二维的情况,实际上可以把每一列都当做一维数组,然后做同样处理。要求子矩阵之和时,可以把每一列都计算一次
num[i]-num[j-1],再累加起来就行了。
第二,如何遍历出所有可能的子矩阵?
这里可以使用三个变量i,j,k来遍历。如果一个矩阵大小是M*N的,那么可以使i从0到M,再使j从每一个i到M,这样就把行方向给遍历完了。再考虑列方向,直接在每一种i,j组合下,进行0到N的遍历,那么这样就等于是把所有子矩阵的情形给遍历完了。
代码如下:
#include<stdio.h> #include<string.h> int num[101][101]; int main(void) { int n; scanf("%d",&n); while(n--) { int r,c; scanf("%d%d",&r,&c); int i,j,k; memset(num,0,sizeof(num)); for(i=1;i<=r;i++) for(j=1;j<=c;j++) { scanf("%d",&num[i][j]); num[i][j]+=num[i-1][j]; } int temp=0; int max=num[1][1]; int tempmax; for(i=1;i<=r;i++) { for(j=i;j<=r;j++) { tempmax=0; for(k=1;k<=c;k++) { temp=num[j][k]-num[i-1][k]; tempmax=(tempmax>=0?tempmax:0)+temp; max=tempmax>max?tempmax:max; } } } printf("%d\n",max); } return 0; }
查看原文:http://www.wyblog.cn/2016/10/14/%e5%8a%a8%e6%80%81%e8%a7%84%e5%88%92-%e5%af%bb%e6%89%be%e5%ad%90%e7%9f%a9%e9%98%b5%e6%9c%80%e5%a4%a7%e5%92%8c/
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