一个关于先验概率、似然函数与后验概率计算的小例子

本文的例子来源于：http://bbs.pinggu.org/thread-3211854-1-1.html

如果有一所学校，有60%是男生和40%是女生。女生穿裤子与裙子的数量相同；所有男生穿裤子。一个观察者，随机从远处看到一名学生，观察者只能看到该学生穿裤子。那么该学生是女生的概率是多少？这里题目中观察者比如近似眼看直接不清性别，或者从装扮上看不出。答案可以用贝叶斯定理来算。

用事件 G 表示观察到的学生是女生，用事件 T 表示观察到的学生穿裤子。于是，现在要计算 P(G|T) ，我们需要知道：

P(G) ，表示一个学生是女生的概率，这是在没有任何其他信息下的概率。这也就是我们说的先验概率。由于观察者随机看到一名学生，意味着所有的学生都可能被看到，女生在全体学生中的占比是 40 ，所以概率是 0.4 。

P(B) ，是学生不是女生的概率，也就是学生是男生的概率，也就是在没有其他任何信息的情况下，学生是男生的先验概率。 B 事件是 G 事件的互补的事件，这个比例是 60 ，也即 0.6 。

P(T|G) 是在女生中穿裤子的概率，根据题目描述，是相同的 0.5 。这也是 T 事件的概率，given G 事件。

P(T|B) 是在男生中穿裤子的概率，这个值是1。

P(T) 是学生穿裤子的概率，即任意选一个学生，在没有其他信息的情况下，TA穿裤子的概率。如果要计算的话，那可以计算出所有穿裤子的学生的数量，除以总数，总数可以假设为常数 C ，但是最后会被约去。或者根据全概率公式 P(T)=P(T|G)P(G)+P(T|B)P(B) 计算得到 P(T)=0.5×0.4+1×0.6=0.8 。

基于以上所有信息，如果观察到一个穿裤子的学生，并且是女生的概率是

P(G|T)=P(T|G)P(G)/P(T)=0.5×0.40.8=0.25.