算术基本定理（唯一分解定理）

摘自 Loi_Peacefuldogの蒟蒻博客

原文，以下。

算术基本定理（唯一分解定理）

一句话：

　　　　

任何大于１的自然数，都可以唯一分解成有限个质数的乘积

例如对于大于1的自然数n，

来自维基百科

这里Pi均为质数，其指数ai是正整数。

这样的分解称为的标准分解式。

唯一分解定理具有：

　①唯一性（分配方式的唯一性）

　②存在性　　　　

证明：

百度百科+自己胡搞了+自己以前做的笔记

①唯一性

　　首先明确一个事实，若p是ab的约数（p|ab,p可以整除ab），则p不是a的约数，就是b的约数。

　　如果p是a的约数则证毕。如果p不是a的约数，则p和a的最大公约数为1。

　　则由裴蜀定理推得，因为使a,b互质的充要条件是存在整数x,y使ax+by=1。

　　于是b=b(ma+np) =abm+bnp（……）；

　　因为先前已经知道p是ab的约数，则上式右边两项都可以被p整除。

　　所以p就是b的约数。

　　唯一性得证。

　　

②存在性

　　假设n为不能被分为质数的乘积的自然数之一，切n为最小

　　因为设n为大于1的合数（如果n为质数，则只有n=n，显然这是质数的乘积）

　　因为每个合数都可以分为两个大于1小于它的两自然数的乘积

　　所以n=a×b

　　又因为n为不能被分为质数的乘积的自然数中最小的一个

　　所以a和b可以分为质数的乘积

　　所以n已就可以分为质数的乘积，与假设不符合，故假设错误

　　存在性得证。　

　　现在我们来看下下下面这个式子：

　　已知gcd[最小公约数] (a,b)，lcm[最大公倍数] (a,b)；

　　a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)

　　

　　a=12;b=14

　　gcd(a,b)=2 ; lcm(a,b)=84 ;

　　tot=168 [gcd(a,b)×lcm(a,b)]

　　a×b＝12×14=168

　　然后

　　12=3×4

　　14=2×7

　　：

　　：

　　12=2^1×2^1×3^1

　　14=2^1×7^1

　　所以 max=7^1×3^1×=21

　　　　 min=2^1×2^1×2^1=8

　　　　 min×max＝168 = gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b

　　

　　所以gcd(a,b)×lcm(a,b) = a×b

　　

　　证明：

　　设x=gcd(a,b)，y=lcm(a,b)

　　则a=m×x，b=n×x,m与n互质

　　故y=m×n*x

　　因此x×y=x×(m×n×x)=(m×x)×(n×x)=a×b

　　即a×b=gcd(a,b)×lcm(a,b)