高数（三）——函数的极限
2016-10-08 23:32
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一、函数极限
函数的极限有两种不同的表现形式：
（1）当自变量x任意地接近有限值X0，或者说，趋于有限值X0（记作x→x0)时，对应的函数值f(x)的变化情形；
（2）当自变量x的绝对值|x|无限增大，即趋于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数值f(x)的变化情形。
第一种：x→x0
对应函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限，当然函数f(x)在点x0的某个去心领域内是有定义的。
定义：设函数f(x)在点X0的某一去心领域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（不管有多小），总存在正数δ，使得对于适合满足不等式0<|x-x0|<δ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε.那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
注：当极限存在时：
1）A是唯一确定的常数
2）x→x0表示的是x0的左右两侧区域X0
3）极限A的存在与f(x)在X0有无定义或在x0的取值无关
单侧极限：
在x→x0时函数f(x)的极限概念中，x是从左右两端同时x0的。但有时候只能也只需考虑到x仅从x0的左侧趋于x0（记作x→x0_）的情形，或x仅从x0的右侧趋于x0(记作x→x0+)的情形。
在x→x0_的情形下，在X0的左侧，x<x0，把0<|x-x0|<δ改为x0-δ<x<x0,则A就叫做函数f(x)当x→x0的左极限，记作f(x0_)=A.
在x→x0+的情形下，在X0的右侧，x>x0，把0<|x-x0|<δ改为x0<x<x0+δ,则A就叫做函数f(x)当x→x0的右极限，记作
f(x0+)=A.
当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等，即f(x0_)
= f(x0+).
第二种：x→∞
定义：设f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A叫做函数f(x)当x→∞时的极限。
二、函数极限的性质
定理一：函数极限的唯一性
如果函数的极限存在，那极限就是唯一的
定理二：函数极限的局部有界性
如果A是某函数的极限，则存在正数M和δ，使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)|<=M.
定理三：函数极限的局部保号性
若A存在且A>0(A<0),则存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时有f(x)>0(或f(x)<0)
推论三:如果在x0的某去心领域内，f(x)>=0(或f(x)<=0),并且极限存在，则A>=0（A<=0）
函数的极限有两种不同的表现形式：
（1）当自变量x任意地接近有限值X0，或者说，趋于有限值X0（记作x→x0)时，对应的函数值f(x)的变化情形；
（2）当自变量x的绝对值|x|无限增大，即趋于无穷大（记作x→∞）时，对应的函数值f(x)的变化情形。
第一种：x→x0
对应函数值f(x)无限接近于确定的数值A，那么就说A是函数f(x)当x→x0时的极限，当然函数f(x)在点x0的某个去心领域内是有定义的。
定义：设函数f(x)在点X0的某一去心领域内有定义，如果对于任意给定的正数ε（不管有多小），总存在正数δ，使得对于适合满足不等式0<|x-x0|<δ的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε.那么A就叫做函数f(x)当x→x0时的极限。
注：当极限存在时：
1）A是唯一确定的常数
2）x→x0表示的是x0的左右两侧区域X0
3）极限A的存在与f(x)在X0有无定义或在x0的取值无关
单侧极限：
在x→x0时函数f(x)的极限概念中，x是从左右两端同时x0的。但有时候只能也只需考虑到x仅从x0的左侧趋于x0（记作x→x0_）的情形，或x仅从x0的右侧趋于x0(记作x→x0+)的情形。
在x→x0_的情形下，在X0的左侧，x<x0，把0<|x-x0|<δ改为x0-δ<x<x0,则A就叫做函数f(x)当x→x0的左极限，记作f(x0_)=A.
在x→x0+的情形下，在X0的右侧，x>x0，把0<|x-x0|<δ改为x0<x<x0+δ,则A就叫做函数f(x)当x→x0的右极限，记作
f(x0+)=A.
当x→x0时，函数f(x)极限存在的充分必要条件是左极限和右极限各自存在并且相等，即f(x0_)
= f(x0+).
第二种：x→∞
定义：设f(x)当|x|大于某一正数时有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数X，使得当x满足不等式|x|>X时，对应的函数数值f(x)都满足不等式|f(x)-A|<ε,则常数A叫做函数f(x)当x→∞时的极限。
二、函数极限的性质
定理一：函数极限的唯一性
如果函数的极限存在，那极限就是唯一的
定理二：函数极限的局部有界性
如果A是某函数的极限，则存在正数M和δ，使得当0<|x-x0|<δ时有|f(x)|<=M.
定理三：函数极限的局部保号性
若A存在且A>0(A<0),则存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时有f(x)>0(或f(x)<0)
推论三:如果在x0的某去心领域内，f(x)>=0(或f(x)<=0),并且极限存在，则A>=0（A<=0）
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