第5课 转置，置换，向量空间R

第5课 转置，置换，向量空间R

置换 Permutation

对于A= LU 来说，L是

L=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1???..01??..001?..0<
20000
/span>001............⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥是一个下三解矩阵，而U是经过消元后变成一个上三解矩阵

U=⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢1000..?100..??1?..???1............⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥。

然而现实情况是，我们总会碰到主元是0的情况，那这样就需要行变换，即交换两行或多行，这称之为置换 Permutation。

这种变成了PA=LU，它先把A通过置换变成比较好的行序，然后再进行LU变换。

Permutations(置换矩阵)是单位矩阵经过重新行排序后的矩阵。对于一个N阶方阵，它的个数为n!=n(n−1)...(3)(2)(1)，这一类矩阵都有很好的性质，比如都存在逆矩阵，且其逆矩阵和其转置相等，即PPT=I,P−1=PT。

转置 Transfrom

假设有矩阵[13 23 41]T=[132341]

如果用数学公式表达转置即 (AT)ij=Aji。

还有一种对称矩阵(Symmetric Matrix)，其转置等于本身。AT=A。

比如[317 139 794]就是一个对称矩阵。

RTRis always symmetric. 任何矩阵的转置乘以其本身，是一个对称矩阵。比如：

⎡⎣⎢⎢124331⎤⎦⎥⎥T[132341]=⎡⎣⎢⎢1011711131171117⎤⎦⎥⎥

下面证明一下为什么？

(RTR)T=RT(RT)T=RTR，所以RTR是一个对称矩阵。

向量空间 Vector Spaces

Examples : R2是所有二维向量组成的空间，它就是一个二维平面。

子空间

它们具有封闭性，即向量之和，数乘，任意线性组合，都还在子空间中。

任合子空间必须有零向量。

举例：

比如对于坐标平面中的第一象限，它就不是一个向量空间。向量之和还在第一象限，但如果是任何负数乘以子向量，它就不闭合了。

我们还从二维向量空间出发，任何一个穿过原点的直线，是一个子空间。但不穿过原点[00]的直线，不是子空间。

列举一下R2的所有子空间：

它自己是自己的子空间

所有经过[00]的直线是子空间

[00] 自己是子空间

列举一下R3的所有子空间：

它自己是自己的子空间

所有经过⎡⎣⎢⎢000⎤⎦⎥⎥的平面是子空间

所有经过⎡⎣⎢⎢000⎤⎦⎥⎥的直线是子空间

⎡⎣⎢⎢000⎤⎦⎥⎥ 自己是子空间

矩阵列空间

举例对于矩阵

A=[13 23 41]

它所有的列向量都在R3中。

它们所有的线性组合构成一个子空间，我们称之为

列空间

,记作C(A) column of A

想像一下，几何上，这个

列空间

其实是一个由两条向量通过线性组合充满的平面。