为什么机器学习真的可以学到东西？

前言

开始跟《机器学习基石》这门课，相对于

Stanford

那门课，这门明显难度大很多，我跟到第10个

Lecture

，才刚刚讲到

Logistic
Regression

。前面费了很大力气在讲机器什么时候可以学习，以及证明为什么能学习。
此文主要是基于《机器学习基石》的学习笔记。

Topic

是为什么机器可以学习？

机器学习流程

下面是一个粗略的机器学习流程图



机器学习最开始也是最终的目的是获得一个

target function

，喂进去数据能直接得到正确结论的函数。为了得到这个函数，我们需要一大堆的训练数据。然后通过一个好的机器学习算法，从一大堆

可能的function(也就是H)

中挑选一个

比较好的function(也就是g)

，这个

g

和

target
function

长得越像越好。

Hoeffding’s
inequality

大家有没有想过，为什么这样就能学到东西。我们的算法只是在训练数据上跑，从训练数据跑出来的

g

，我们怎么能确定它也能在测试数据上跑的很好呢？这个就是问题的关键。其实接下来内容主要就是论证这个问题。
先来考虑一个简单的问题。比如说我们现在有一个黑罐子，里面有很多弹珠，只有两种颜色，黄的和绿的。好现在问你，你怎么能知道黄色弹珠大概有多少颗？



大家肯定都会说抽样。没错，我们抽出10个弹珠，很容易能知道黄色弹珠在

sample

中的比例。但是这个比例真的能代表罐子中的比例吗？也许能，也许不能。而且能的记录会随着我们

sample

数目的增大而增大。但是也有可能你抓出一把全绿。但这种情况发生的记录很小。这里我们有一个定理保证这种偏差发生的记录很小。

Hoeffding's inequality

可以保证偏差很大发生的几率很小，并且随着

N

的增大很减小。公式如下，

v

代表

sample

中黄色弹珠的比例，

μ

表示罐子中黄色弹珠的比例。

ϵ

也就是偏差。

ℙ[|ν−μ|>ϵ]≤2exp(−2(ϵ^2)N)

坏事的发生

现在我们称

v

为

Ein

,

μ

为

Eout

，现在我们已经证明了

Ein

和

Eout

不会差的太远，更重要的事情是保重

Ein

越小越好，这就需要一个好的算法。

还记得上面的学习流程吗，我们的算法是从很多个

h

中去挑选一个

Ein

最小的

h

让它成为

g

。但是这里会有坏事情发生。

所谓的坏事情就是

bad sample

，就是说我们抽出了十个全是绿的弹珠。现在有一个好的

h

称之为

h1

，和坏的

h

叫

h2

，

h1

对于这个

bad
sample

的表现当然是糟糕的，而恰好

h2

表现很好，那

h2

就被选成

g

了。
当出现坏事的时候，我们学习就会困难，可以直接说不能学习。所以这个坏事出现的概率是多少呢？把所有h中发生坏事的几率加起来。



从上图的式子中可以看到，坏事发生的几率和

M

有关。

M

也就是

h

的个数。

从现在的条件来看，如果

M

很大甚至无线的话那么

Learning

是不可行的。

无效的Hypothesis

真实的情况是

M

一般不会很大，请再仔细看看上一张图的推导，

M

是通过把所有的

h

坏事发生的概率加起来的，但是其实这些

h

不是互相独立的。所以这些

h

是有重复的，如下图。



比如说，我们想学习的

target function

是一条把

x1

分类成正负的线。现在

h

就有无数个，因为任意一条线都能分类，但是实际有意义的只有两种，分成正的和负的。

如果是两个点的话，实际有效的

h

就有4种，但是3个点就有可能不到8种了，因为会出现三点共线的情况。4个点的话按理说有16种，但是同样有一种情况不会发生，请看下图。



所以现在我们的公式就变成了这样，大大减小

M

的个数

成长函数的上限

现在我们给上面

effective(N)

一个称呼，叫做成长函数。也就是说，对于某一个输入

D

，

H

最多能够产生的多少种方程。注意是种类的数量。

这个所谓的种类我们也给一个定义叫做

dichotomy

,用来表示

H

对与

D

的二元分类情况。

好，现在问题的关键，就是

H

到底能把

D

分成多少个

dichotomy

。也就是它的成长函数到底是多少？

但是我们很难确定它的成长函数。但是好在我们拥有一个叫做

break point

的东西，这就是成长函数的上限。我们再看回上面分类的例子。

一个点能分成两种
两个点分成四种
三个点分成六种或者八种
四个点只有14种(

break point

)

这里的输入为三个点就是一个

break point

。也就是说当输入N个点，

H

不能够把这个

N

个点的排列组合全部表示出来时

(2^N)

，

N

就是一个

break
point

。

当

H

能把

N

的全部组合表示出来时，说明这

N

个点被

H

给

shatter

掉了
我们用

B(N,k)

来表示当输入

N

个点时，

H

可以最多产生多少个

dichotomy

。

通过数学归纳法我们可以证明到

VC
BOUND

现在到了最后一步，除了把上边那个成长函数的上限代入进去之外，还需要进行一系列的变形，这些变形需要很强的数学能力和概率上面的知识，我自己都不太懂，况且我觉得大部分人都不需要了解。这里我就略过，有兴趣的强人自己

google

咯。

最终的式子如下



好了，现在我们终于能说机器学习确实可以学到东西了。但是需要满足三个条件。

有一个好的

H

(拥有

break
point

)
足够多的数据
好的算法，能够使

Ein

足够小

这三者的关系如下图。

dvc = k - 1

，大致上可以把它看出

theta

的维度加1
上图很清晰的说明，并不是说你的模型搞得很复杂，算法弄得很好，就能学好，反而是取到一个折中的点，这样的学习才最有效。

#Machine
Learning