中国剩余问题(简介+详解)

中国剩余定理

我国古代数学名著《孙子算经》载有一道数学问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？”这里的几何指多少的意思。翻译成数学语言就是：求正整数N，使N除以3余2，除以5余3，除以7余2。

如何求符合上述条件的正整数N呢？《孙子算经》给出了一个非常有效的巧妙解法。术曰：“三、三数之剩二，置一百四十；五、五数之剩三，置六十三；七、七数之剩二，置三十，并之，得二百三十三。以二百一十减之，即得。凡三、三数之剩一，则置七十；五、五数之剩一，则置二十一；七、七数之剩一，则置十五。一百六以上，一百五减之，即得。”

过了一千多年，到了十六世纪，数学家程大位在他所著的《算法统宗》里把这个问题的解法用歌诀形式表述出来。三人同行七十稀， 五树梅花廿一枝，七子团圆正月半，除百零五便得之。

歌诀的前三句给出了三组数，后一句给出了一个数：

3 70

5 21

7 15

105

三组数的共同特征是：

70除以3余1，除以5、7余0； 21除以5余1，除以3、7余0； 15除以7余1，除以3、5余0。

首先程大位把不同的余数问题统一化为标准的余数问题。然后，他把复杂难解的问题化解为三个易解的问题。70、21、15分别是满足第一、二、三行条件的最小解。

2×70满足原题第一个余数条件，且被5、7整除。

3×21满足原题第二个余数条件，且被3、7整除。

2×15满足原题第三个余数条件，且被3、5整除。

统统相加得和：N=2×70+3×21+2×15=233。

N必然满足原题所有三个余数条件。但N不一定是最小的。歌诀最后一句“除百零五便得知”，这里“除”的意思是“减”，意即从233中减去3、5、7的最小公倍数105的倍数便得到23。这个23就是问题的最小解。这最后一句也可以理解为N除以105的余数就是问题的最小解。

中国古代数学有一个传统，总是以具体的数量关系表示一般的规律。把中国剩余定理译成数论术语就是：

设m1、m2、m3是两两互质的正整数，对任意给定的整数a1、a2、a3，必存在整数，满足

x≡a1 (mod m1)， x≡a2 (mod m2)， x≡a3 (mod m3)。

并且满足上列方程组的解x(mod m1m2m3)是存在唯一的。

上面定理的表述是为方便或为忠于《孙子算经》，我们只写出含三个余数的情形，其实，这个定理对n个余数是通用的。

这个算法，给出了这类问题的非常简捷的一般解法。这个算法，具有非凡的数学思想，并对数论、代数产生了重要影响，中国称此算法为“孙子定理”，国际上称此为“中国剩余定理”。这是中国数学对世界数学最重要的贡献之一。中国剩余定理除本身的重要性之外，它还提示人们，要解决较复杂的问题，最好把它分解为几个易解的子问题；把问题各不相同的条件化成标准的条件，然后用标准的、统一的方法去处理。这是两种重要的数学思想。

南宋数学家秦九韶在他的《数书九章》中推广了“物不知数”问题，提出了计算“乘率”的方法——“大衍求一术”，使解决一次同余式问题的方法形成系统化的数学理论。

在西方，直到十八世纪，瑞士的欧拉与法国的拉格朗日才对同余式问题进行系统的研究。十九世纪的第一年，德国的高斯在《算术探究》一书中，才提出解决这类问题的方法——剩余定理，并给出了严格证明，被后人称为“高斯定理”。1852年英国基督教士伟烈亚力在《字林西报》上发表了《中国科学的记述》，介绍《孙子算经》中的“物不知数”题，并第一次解释了“大衍求一术”，并指出它实质上和高斯定理是一致的。当时，德国著名数学家康托尔称赞秦九韶是“最幸运的天才”，秦九韶推广了“中国的剩余定理”，为我国和世界数学史增添了光彩。

中国剩余定理的补充资料

已知m1、m2、m3是两两互质的正整数，求最小正整数x，使它被m1、m2、m3除所得余数分别为C1、C2、C3 。

孙子定理的思想便是先分别找出被其中数mi除余1而被另二数整除的数Mi(i=1，2，3)，则所求的数之一便是
C1M1+C2M2+C3M3；

若欲求的是最小的符合要求的数，则将上面的得数减去m1、m2、m3的整数倍(0，1，2，…)即可.

在古算题中，m1=3，m2=5，m3=7；C1=2，C2=3，C3=2；M1=70，M2=21，M3=15.

其中 ： M1=70=3×23+1=5×7×2；

M2=21=5×4+1=3×7×1；

M3=15=7×2+1=3×5×1；

而 C1M1+C2M2+C3M3=2×70+3×21+2×15=233

∵233>2×3×5×7=2×105，故所求最小数为
233-2×105=23

孙子定理可以推广到对任意n个数mi的情形，n≥2，n∈N，国外称此定理为“中国剩余定理”。

民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

秦朝末年，楚汉相争。一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。只见远方尘土飞扬，杀声震天。汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。于是士气大振。一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。交战不久，楚军大败而逃。

在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题：

“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数.

这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的.

① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？

解：除以3余2的数有： 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23….

它们除以12的余数是： 2，5，8，11，2，5，8，11，….

除以4余1的数有： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，….

它们除以12的余数是： 1， 5， 9， 1， 5， 9，….

一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5.

如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数，

整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案.

②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数.

解：先列出除以3余2的数： 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…，

再列出除以5余3的数： 3， 8， 13， 18， 23， 28，….

这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16，23， 30，…，

就得出符合题目条件的最小数是23.

事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23.

那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人

定理得内容：若某数x分别被d1、d2、…、dn除得的余数为r1、r2、…、rn，则x可表示为下式：x=R1r1+R2r2+…+Rnrn+RD

其中R1是d2、d3、…、dn的公倍数；而且被d1除，余数为1；…、Rn是d1、d2、…、dn-1的公倍数；而且被dn除，余数为1；D是d1、d2、…、dn的最小公倍数；R是任意整数，可根据实际需要决定，且d1、d2、…、dn必须互质，以保证每个Ri（I=1，2，…，n）都能求得。

一、剩余问题

在整数除法里，一个数同时除以几个数，整数商后，均有剩余；已知各除数及其对应的余数，从而要求出适合条件的这个被除数的问题，叫做剩余问题。

二、两个定理

定理1：几个数相加，如果只有一个加数，不能被数a整除，而其他加数均能被数a整除，那么它们的和，就不能被数a整除。

如：10能被5整除，15能被5整除，但7不能被5整除，所以（10+15+7）不能被5整除。

定理2：二数不能整除，若被除数扩大（或缩小）了几倍，而除数不变，则其余数也同时扩大（或缩小）相同的倍数（余数必小于除数）。

如：22÷7＝3……1

（22×4）÷7＝12……1×4（＝4）

（要余2即 22×2÷7＝6……2）

（22×9）÷7＝28……1×9-7（＝2）

（想余5则22×5÷7＝15……5）

三、读解《中国剩余定理》

中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？

答曰：23

术曰：“三三数之剩二，置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百一十减之即得。”

“术”即解法。书中还介绍了上述问题中余数为一的一般解法：凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一则置十五；一百六以上，以一百零五减之即得。

在明朝程大位著《算术统宗》一书中，把上述问题的基本解法，用诗句概括为：

三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百令五便得知。

解法1：依定理译成算式解为：

70×2＋21×3＋15×2＝233

233－105×2＝23

这就是享誉中外的《中国剩余定理》。对此古代剩余问题，时至今日另有解法。

解法2：用各除数的“基础数”法解。

基础数的条件：

（1）此数必须符合除数自身的余数条件；

（2）此数必须是其他所有各除数的公倍数。

（一）求各除数的最小公倍数［3，5，7］＝105

（二）求各除数的基础数

（1）［3］ 105÷3＝35 ［35］÷3＝11……2

（2）［5］ 105
÷ 5＝21 21÷5＝4……1（当于3）

∵1×3＝3　　∴ 21×3＝［63］

（3）［7]
105 ÷ 7＝15 15 ÷ 7＝2……1（当于2）

∵1×2＝2 ∴15×2＝［30］

（三）求各基础数的和35+63+30＝128

（四）求基准数（最小的，只有一个）128-105=23

（五）求适合条件的数X X＝23+105K（K是整数）（注：此法易行，且具有一般性）

解法3：用枚举筛选法解

按除数3，7同余2，依次逐一枚举；随后用除以5余3，进行筛选，便可获解。

摘录条件

3......2

（基准数） ÷5……3 同余 2

7......2

（一）求3和7的最小公倍数

［3，7] ＝21

（二）进行枚举筛选

（1）21＋2=23
23÷5＝4……3

一般地有：X=基准数+各除数的最小公倍数×K（K是整数）

四、剩余问题的解法与应用

例：韩信点兵，有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人；若列成六行纵队，则末行五人；若列成七行纵队，则末行四人；若列成十一行纵队，则末行十人，求兵数至少有多少人？

用基础数法解：

5......l

基准数（2111）÷6……5

7......4

11......10

（一）求各除数的最小公倍数

［5， 6， 7， 11]＝2310

（二）求各除数的基础数

（l）［5]
2310÷5＝462

462÷5＝92……2

∵2×3－5＝1

∴462×3＝［1386］

（2）［6]
2310÷6＝385

385÷6＝64……1

∵ 1×5＝5

∴385×5＝［1925］

（3）［7］ 2310÷7＝330

330÷7＝47……1

∵1×4＝4

∴330×4＝［1320］

（4）［11]
2310÷11＝210

210÷11＝19……1

∵1×10＝10

∴210×10＝［2100］

（三）求各基础数的和

1386＋1925＋1320＋2100＝6731

（四）求最小的基准数

6731－2310×2＝2111（人）

（五）求最适合条件的数X

X=2111＋2310K（K为整数）

答：这队兵至少有2111人。

注：各除数应两两互质，可确保命题的真实性。

五、推导《3、5、8剩余定理）及启用

题目：一个数除以3余2；除以5余3；除以8则余1。此数最小是多少？

摘录条件 3……2

（基准数）（113）÷5……3

8......1

A、推导定理：只要能确定3、5、8各除数的余数均为1的基础数，便可推导出定理，随后再乘以各对应的余数，即可依此定理解题。

（一）［3、5、8]＝120

（二）求各除数的余数均为1的基础数

（1）［3]120÷3＝40

［40］÷3＝13……1

（2）［5］120÷5＝24
24÷5＝4……4

∵4×4－5×3＝l

∴24×4＝［96]

（3）［8]120÷8＝15
15÷8＝1……7

∵7×7－8×6＝1　

∴15×7＝［105]

由此得出《3、5、8剩余定理》诗曰：

三人同行40多，五树梅花96朵，

八仙过海105招，除百二十便解惑。

（三）分别乘以各对应的余数再求和而获解

40×2＋96×3＋105×l＝473

（四）求最小的基准数

473－120×3＝113

B、启用定理，再解两题

（一） 3……1

（79）÷5……4

8......7

解：40×1＋96×4＋105×7＝1159

1159－120×9＝79

（二） 3……2

（11）÷5……1

8......3

解：40×2＋96×1＋105×3＝491

491－120×4＝11

C、补充《3、4、5剩余定理》

三人同行40里，四季花开45枝，

五朵金花36浪，除去六十便得知。

3......2

（53）÷4……1

5......3

解：40×2＋45×1＋36×3＝233

233－60×3＝53

由此可知，“剩余问题”的“解法定理”，都是可以推得的，都是非常灵验的。

通过对“剩余问题”的研讨，使我们进一步认识了其“解法定理”，提高了解题能力，证明其解题方法可行、实用、有趣和灵活多样。《3、5、8剩余定理》、《3、4、5剩余定理》……《a、b、c剩余定理》等“解法定理”的推导成功，证明对“剩余问题”完全可以运用“定理解题”。

读解《中国剩余定理》

中国数学史书上记载：在两千多年前的我国古代算书《孙子算经》中，有这样一个问题及其解法：

今有物不知其数，三三数之剩二；五五数之剩三：七七数之剩二。问物几何？

答曰：23

《孙子算经》中给出这类问题的解法：“三三数之剩二，则置一百四十；五五数之剩三，置六十三；七七数之剩二，置三十；并之得二百三十三，以二百一十减之，即得。凡三三数之剩一，则置七十；五五数之剩一，则置二十一；七七数之剩一，则置十五，一百六以上，以一百五减之，即得。”用现代语言说明这个解法就是：

　　首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。

　　所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。

　　所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。

　　所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

　　又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。所以233是满足题目要求的一个数。

　　而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。

“中国剩余定理”算理及其应用

70是5和7的公倍数，且除以3余1。21是3和7的公倍数，且除以5余1。15是3和5的公倍数，且除以7余1。（任何一个一次同余式组，只要根据这个规律求出那几个关键数字，那么这个一次同余式组就不难解出了。）把70、21、15这三个数分别乘以它们的余数，再把三个积加起来是233，符合题意，但不是最小，而105又是3、5、7的最小公倍数，去掉105的倍数，剩下的差就是最小的一个答案。

用歌诀解题容易记忆，但有它的局限性，只能限于用3、5、7三个数去除，用其它的数去除就不行了。后来我国数学家又研究了这个问题，运用了像上面分析的方法那样进行解答。

例1：一个数被3除余1，被4除余2，被5除余4，这个数最小是几？ 题中3、4、5三个数两两互质。

则〔4，5〕=20；〔3，5〕=15；〔3，4〕=12；〔3，4，5〕=60。

为了使20被3除余1，用20×2=40；

使15被4除余1，用15×3=45；

使12被5除余1，用12×3=36。

然后，40×1＋45×2＋36×4=274，

因为，274>60，所以，274－60×4=34，就是所求的数。

例2：一个数被3除余2，被7除余4，被8除余5，这个数最小是几？ 题中3、7、8三个数两两互质。

则〔7，8〕=56；〔3，8〕=24；〔3，7〕=21；〔3，7，8〕=168。

为了使56被3除余1，用56×2=112；

使24被7除余1，用24×5=120。

使21被8除余1，用21×5=105；

然后，112×2＋120×4＋105×5=1229，

因为，1229>168，所以，1229－168×7=53，就是所求的数。

例3：一个数除以5余4，除以8余3，除以11余2，求满足条件的最小的自然数。 题中5、8、11三个数两两互质。

则〔8，11〕=88；〔5，11〕=55；〔5，8〕=40；〔5，8，11〕=440。

为了使88被5除余1，用88×2=176；

使55被8除余1，用55×7=385；

使40被11除余1，用40×8=320。

然后，176×4＋385×3＋320×2=2499，

因为，2499>440，所以，2499－440×5=299，就是所求的数。

例4：有一个年级的同学，每9人一排多5人，每7人一排多1人，每5人一排多2人，问这个年级至少有多少人 ？（幸福123老师问的题目） 题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×5＋225×1＋126×2=1877，

因为，1877>315，所以，1877－315×5=302，就是所求的数。

例5：有一个年级的同学，每9人一排多6人，每7人一排多2人，每5人一排多3人，问这个年级至少有多少人 ？（泽林老师的题目）

题中9、7、5三个数两两互质。

则〔7，5〕=35；〔9，5〕=45；〔9，7〕=63；〔9，7，5〕=315。

为了使35被9除余1，用35×8=280；

使45被7除余1，用45×5=225；

使63被5除余1，用63×2=126。

然后，280×6＋225×2＋126×3=2508，

因为，2508>315，所以，2508－315×7=303，就是所求的数。

（例5与例4的除数相同，那么各个余数要乘的“数”也分别相同，所不同的就是最后两步。）

关于“中国剩余定理”类型题目的另外解法

“中国剩余定理”解的题目其实就是“余数问题”，这种题目，也可以用倍数和余数的方法解决。 如：

例一，一个数被5除余2，被6除少2，被7除少3，这个数最小是多少？

解法：题目可以看成，被5除余2，被6除余4，被7除余4 。看到那个“被6除余4，被7除余4”了么，有同余数的话，只要求出6和7的最小公倍数，再加上4，就是满足后面条件的数了，6X7＋4＝46。下面一步试下46能不能满足第一个条件“一个数被5除余2”。不行的话，只要再46加上6和7的最小公倍数42，一直加到能满足“一个数被5除余2”。这步的原因是，42是6和7的最小公倍数，再怎么加都会满足

“被6除余4，被7除余4”的条件。

46＋42＝88 46＋42＋42＝130 46＋42＋42＋42＝172

这是一种形式的，它的前提是条件中出现同余数的情况，如果遇到没有的，下面讲

例二，一个班学生分组做游戏，如果每组三人就多两人，每组五人就多三人，每组七人就多四人，问这个班有多少学生？

解法：题目可以看成，除3余2，除5余3，除7余4。没有同余的情况，用的方法是“逐步约束法”，就是从“除7余4的数”中找出符合“除5余3的数”，就是在4上一直加7，直到所得的数除5余3。得出数为18，下面只要在18上一直加7和5得最小公倍数35，直到满足“除3余2”

4＋7＝11 11＋7＝18 18＋35＝53

这种方法也可以解“中国剩余定理”解的题目。比“中国剩余定理”更好理解，我觉的速度上会比那个繁琐的公式化的解题更快。