扩展欧几里得初学整合

扩展欧几里德算法

基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。

证明：设 a>b。

　　1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；

　　2，ab!=0 时

　　设 ax1+by1=gcd(a,b);

　　bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);

　　根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);

　　则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;

　　即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;

　　根据恒等定理得：x1=y2; y1=x2-(a/b)*y2;

     这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.

　  上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。

 

扩展欧几里德的递归代码：

int exgcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0)
{
x=1;
y=0;
return a;
}
int r=exgcd(b,a%b,x,y);
int t=x;
x=y;
y=t-a/b*y;
return r;
}

非递归代码：

int exgcd(int m,int n,int &x,int &y)
{
int x1,y1,x0,y0;
x0=1; y0=0;
x1=0; y1=1;
x=0; y=1;
int r=m%n;
int q=(m-r)/n;
while(r)
{
x=x0-q*x1; y=y0-q*y1;
x0=x1; y0=y1;
x1=x; y1=y;
m=n; n=r; r=m%n;
q=(m-r)/n;
}
return n;
}

扩展欧几里德算法的应用主要有以下三方面：

（1）求解不定方程；

（2）求解模线性方程（线性同余方程）；

（3）求解模的逆元；

 

（1）使用扩展欧几里德算法解决不定方程的办法：

  对于不定整数方程pa+qb=c，若 c mod Gcd(p, q)=0,则该方程存在整数解，否则不存在整数解。

  上面已经列出找一个整数解的方法，在找到p * a+q * b = Gcd(p, q)的一组解p0,q0后，p * a+q * b = Gcd(p, q)的其他整数解满足：

  p = p0 + b/Gcd(p, q) * t 

  q = q0 - a/Gcd(p, q) * t(其中t为任意整数)

  至于pa+qb=c的整数解，只需将p * a+q * b = Gcd(p, q)的每个解乘上 c/Gcd(p, q) 即可。

  在找到p * a+q * b = Gcd(a, b)的一组解p0,q0后，应该是得到p * a+q * b = c的一组解p1 = p0*(c/Gcd(a,b)),q1 = q0*(c/Gcd(a,b))，

  p * a+q * b = c的其他整数解满足：

  p = p1 + b/Gcd(a, b) * t

  q = q1 - a/Gcd(a, b) * t(其中t为任意整数)

  p 、q就是p * a+q * b = c的所有整数解。

证明：

 

用扩展欧几里得算法解不定方程ax+by=c;

代码如下：

bool linear_equation(int a,int b,int c,int &x,int &y)
{
int d=exgcd(a,b,x,y);
if(c%d)
return false;
int k=c/d;
x*=k; y*=k;    //求得的只是其中一组解
return true;
}

(2)用扩展欧几里德算法求解模线性方程的方法：
    同余方程 ax≡b (mod n)对于未知数 x 有解，当且仅当 gcd(a,n) | b。且方程有解时，方程有 gcd(a,n) 个解。
    求解方程 ax≡b (mod n) 相当于求解方程 ax+ ny= b, (x, y为整数)
    设 d= gcd(a,n)，假如整数 x 和 y，满足 d= ax+ ny(用扩展欧几里德得出)。如果 d| b，则方程
    a* x0+ n* y0= d， 方程两边乘以 b/ d，(因为 d|b，所以能够整除)，得到 a* x0* b/ d+ n* y0* b/ d= b。

    所以 x= x0* b/ d，y= y0* b/ d 为 ax+ ny= b 的一个解，所以 x= x0* b/ d 为 ax= b (mod n ) 的解。
    ax≡b (mod n)的一个解为 x0= x* (b/ d ) mod n，且方程的 d 个解分别为 xi= (x0+ i* (n/ d ))mod n {i= 0... d-1}。
    设ans=x*(b/d),s=n/d;
    方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;
    相关证明：
    证明方程有一解是: x0 = x'(b/d) mod n;

    由 a*x0 = a*x'(b/d) (mod n)

         a*x0 = d (b/d) (mod n)   (由于 ax' = d (mod n))

                 = b (mod n)
    证明方程有d个解: xi = x0 + i*(n/d)  (mod n);

    由 a*xi (mod n) = a * (x0 + i*(n/d)) (mod n)

                             = (a*x0+a*i*(n/d)) (mod n)

                             = a * x0 (mod n)             (由于 d | a)

                             = b
     
首先看一个简单的例子：
5x=4(mod3)
解得x = 2,5,8,11,14.......
由此可以发现一个规律，就是解的间隔是3.
那么这个解的间隔是怎么决定的呢？
如果可以设法找到第一个解，并且求出解之间的间隔，那么就可以求出模的线性方程的解集了.
我们设解之间的间隔为dx.
那么有
a*x = b(mod n);
a*(x+dx) = b(mod n);
两式相减，得到:
a*dx(mod n)= 0;
也就是说a*dx就是a的倍数，同时也是n的倍数，即a*dx是a 和 n的公倍数.为了求出dx,我们应该求出a 和 n的最小公倍数,此时对应的dx是最小的.
设a 和 n的最大公约数为d,那么a 和 n 的最小公倍数为(a*n)/d.
即a*dx = a*n/d;
所以dx = n/d.
因此解之间的间隔就求出来了.
    代码如下：

bool modular_linear_equation(int a,int b,int n)
{
int x,y,x0,i;
int d=exgcd(a,n,x,y);
if(b%d)
return false;
x0=x*(b/d)%n;   //特解
for(i=1;i<d;i++)
printf("%d\n",(x0+i*(n/d))%n);
return true;
}

（3）用欧几里德算法求模的逆元：

       同余方程ax≡b (mod n)，如果 gcd(a,n)== 1，则方程只有唯一解。

      在这种情况下，如果 b== 1，同余方程就是 ax=1 (mod n ),gcd(a,n)= 1。

      这时称求出的 x 为 a 的对模 n 乘法的逆元。

      对于同余方程 ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1 的求解就是求解方程

      ax+ ny= 1，x, y 为整数。这个可用扩展欧几里德算法求出，原同余方程的唯一解就是用扩展欧几里德算法得出的 x 。

ax= 1(mod n )， gcd(a,n)= 1可以转化成ax+
ny= 1，因为对ax+ ny取模n，ny%n = 0；又变成了 ax % n = 1；所以可以转化成ax+
ny= 1

四、乘法逆元
1. 定义
正整数 a, n，如果有
ax
≡ 1(mod n)，则称
x 的最小整数解为 a
模 n
的逆元。
2. 应用
(a / b) mod n = a * b-1
mod n
3. 求解逆元
a) 扩展欧几里得
由逆元定义知
，求 a 模 n 的逆元 x 即为求解模线性方程
ax
≡ 1(mod n)
适用条件：保证
gcd(a, n) = 1。b)
费马小定理
费马小定理：
假如
p 是质数，且
gcd(a,p)=1，那么
ap-1
≡
1(mod p)。
其中 ap-1
= a * a p-2
， 结合定义可以看出 x = a
p-2
适用条件： p
是质数且 gcd(a, p) = 1。
c) 线性求逆元
有时题目需要用到 1->p 模 p 的所有质数，
p 是奇质数， 用上
面两种方法复杂度差不多都是 O(nlogn)， 有一种递推关系可以线性
求出所有逆元。
inv[i] = (p
– p/i) * inv[p%i] % p , inv[1] = 1;
推导过程：
令 t = p / i, k = p % i;
有 t*i+ k ≡
0 (mod p)
=> -t * i ≡
k (mod p)
两边同时除以
k*i
=> -t * k-1
≡
i-1 (mod p)
代入 t、
k， 就有
inv[i] = (p –
p/i) * inv[p%i] % p
d) 不用逆元。 。。
通常情况下遇到 a/b mod n 的问题时，我们可以通过 a*b-1
mod n
求解， 但是只有当 gcd(b, n) = 1， b 的逆元才存在， 如果出现 gcd !=
1 的情况是如何求解。
有一个通用公式适用所有情况
x = a / b mod n = a mod (n*b) / b
推导过程：
x = (a / b) mod n
= > (a / b) = k * n + x (x < n)
= > a = k * b * n + b * x
= > a mod (b*n) = b * x
= > x = a mod (b*n) / b