bzoj 3643：Phi的反函数 （数论+搜索）

phi的反函数

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题目描述

他已一无所有，只记得那个函数，那无数个以欧拉命名的函数之一。

Phi，定义域是 Z+，phi(n)表示 1~n 中与 n 互质的数的个数。具体地，



特殊的，phi(1)=1.

对于这个式子他知道很多种解释方法，然而他不想解释。他只想知道这个该死的函数的反函数是什么，反函数的意思是给定 x，需要求最小的n使得phi(n)=x.

输入描述

一行一个正整数x。

输出描述

一行一个正整数表示答案， 如果无解或者答案大于等于231

输出-1.

输入样例

4

输出样例

5

数据范围

对于%10的数据，x≤5

对于%30的数据，x≤10^5

对于%60的数据，x≤10^7

对于%100的数据，x<2^31

题解：数论+搜索。

这道题其实可以用线性筛水过很多分，但是想要切掉还需要暴搜一下。

数据范围最大到2^31-1，在这个范围内的数最多可以被分解成10个质因数相乘的形式。因为最小的十个质因数相乘就已经炸int了。

ans = p1^a1 * p2^a2 * …… * pm^am 其中pi是素数且对于任意i，j有pi≠pj

 n = p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * …… * pm^(am-1) * (p1-1) * (p2-1) * …… * (pm-1)
发现ans与n 应该是同阶的，大小应该接近，那么我们可以用线性筛筛出在sqrt(n)范围内的所有质数，然后暴力的去枚举判断计算答案。可能会出现有一种情况，就是pi只出现了一次，但是pi>sqrt(n)也就是不在我们筛出的范围内，因为这样的质数只有一个，所有我们需要特判一下这种情况。pi^0=1所以在运算过程中肯定没法出现pi，所以当n除以部分 p1^(a1-1)
* p2^(a2-1)* (p1-1) * (p2-1) ...的答案+1是素数，就更新答案，同时不必再将其分解。假设当前得到的为now,now=p1^(a1-1) * p2^(a2-1) * …… * pm^(am-1) * (p1-1) * (p2-1) * …… * (pm-1)，我们利用now还原会的原数一定大于等于now+1。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<algorithm>
#include<cstring>
#include<cmath>
#define N 1000003
#define LL long long
#define p 2147483647
using namespace std;
int pd
,prime
,phi
,n,m;
LL ans;
void calc()
{
phi[1]=1;
for (int i=2;i<=m;i++)
{
if (!pd[i]){
prime[++prime[0]]=i;
phi[i]=i-1;
}
for (int j=1;j<=prime[0];j++)
{
if (i*prime[j]>m) break;
pd[i*prime[j]]=1;
if (i%prime[j]==0) phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];
else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);
}
}
}
int pdprime(int x)
{
for (int i=2;i*i<=x;i++)
if (x%i==0) return false;
return true;
}
void dfs(int x,int now,LL tot)
{
if (tot>=ans) return;
if (now==1) {
ans=tot;
return;
}
if (now>m&&pdprime(now+1)){
ans=min(ans,tot*((LL)now+1));
return;
}
for (int i=x;i<=prime[0];i++)
{
if (prime[i]-1>now) break;
if (now%(prime[i]-1)==0){
int x=now/(prime[i]-1); LL y=tot*(LL)prime[i]; dfs(i+1,x,y);
while (x%prime[i]==0){
x/=prime[i]; y*=(LL)prime[i];
dfs(i+1,x,y);
}
}
}
}
int main()
{
freopen("phi.in","r",stdin);
freopen("phi.out","w",stdout);
scanf("%d",&n); m=(int)sqrt(n);
calc(); ans=(LL)2147483647+1;
dfs(1,n,1);
if (ans>2147483647) printf("-1\n");
else printf("%I64d\n",ans);
}