陶哲轩实分析 7.3 节习题试解

陶哲轩实分析 7.3 节习题试解

7.3.1 用命题 7.3.1 证明推论 7.3.2

设 ∑∞n=man 和 ∑∞n=mbn 是两个实数的形式级数，并且对于一切 n≥m 有 |an|≤bn，如果 ∑∞n=mbn 是收敛的，那么 ∑∞n=man 绝对收敛，并且

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤∑n=m∞|an|≤∑n=m∞bn

因为 ∑∞n=mbn 收敛，所以存在一个 M 满足对于一切的 N≥m，有

$$

\sum_{n=m}^{N} b_n \leq M

$$

所以

∑n=mNan≤∑n=mN|an|≤∑n=mNbn≤M

所以 ∑∞n=man 绝对收敛。

所以

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤∑n=m∞|an|

设 Sa(N)=∑Nn=m|an|，Sb(N)=∑Nn=mbn。

数学归纳法可证对任意的 N≥m 都有

Sa(N)≤Sb(N)

所以

limN→∞Sa(N)≤limN→∞Sb(N)

所以

∑n=m∞|an|≤∑n=m∞bn

所以

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤∑n=m∞|an|≤∑n=m∞bn

7.3.2 证明引理 7.3.3

设 x 是实数，如果 |x|≥1，那么级数 ∑∞n=0xn 是发散的。但是如果 |x|<1，那么此级数是绝对收敛的，并且

∑n=0∞xn=11−x

（1）如果 |x|≥1，那么 |xn|≥1 所以 (xn)∞n=0 发散，所以级数 ∑∞n=0xn 是发散的。

（2）如果 |x|<1，设 SN=∑Nn=0|x|n，那么有

SN=1−|x|N+11−|x|

limN→∞SN=limN→∞1−|x|N+11−|x|=11−|x|

所以此级数绝对收敛。

设级数的部分和 TN=∑Nn=0xn，那么有

TN=1−xN+11−x

limN→∞TN=limN→∞1−xN+11−x=11−x

所以有

∑n=0∞xn=11−x

7.3.3 设 ∑∞n=0an 是绝对收敛的级数，使得 ∑∞n=0|an|=0。证明对于每个自然数 n 有 an=0

数学归纳法

先证明 a0=0

∑n=0∞|an|=|a0|+∑n=1∞|an|=0

∑n=1∞|an|≥∣∣∣∑n=1∞an∣∣∣≥0

所以

0=|a0|+∑n=1∞|an|≥|a0|+∣∣∣∑n=1∞an∣∣∣

所以

a0=0

假设当0≤n≤m时有 an=0

那么当 n=m+1 时，有

0=∑n=0∞|an|=∑i=0m|ai|+∑n=m+1∞|an|=∑n=m+1∞|an|

所以

∑n=m+1∞|an|=|am+1|+∑n=m+2∞|an|=0

因为

∑n=m+2∞|an|≥∣∣∣∣∑n=m+2∞an∣∣∣∣≥0

所以

am+1=0

所以对每个自然数 n 都有 an=0