五边形数定理的一种证明

很久以前就知道五边形数定理了……但是用它A过几道题，一直不知道怎么证明感觉很不痛快 QwQ……最近在wiki上找到一个简单优雅的证明方法……在网上并没有找到过中文的证明，所以把它粗略翻译一下，放在这里 QWQ

描述

五边形数定理是一个欧拉发现的数学定理，描述欧拉函数展开式的特性，欧拉函数展开式如下：

ϕ(x) =∏n=1∞(1−xn)=∑k=−∞∞(−1)kxk(3k−1)2=1+∑k=1∞(−1)kxk(3k±1)2

其中，形如 k(3k−1)2 的数被称为（广义）五边形数

与分割函数的关系

欧拉函数的倒数是分割函数的母函数，即：

1ϕ(x)=∑k=0∞p(k)xk

其中 p(k) 为 k 的分割函数，即把 k 写成若干个正整数的和的方案数

配合五边形数定理，我们有：

(1+∑k=1∞(−1)kxk(3k±1)2)(∑k=0∞p(k)xk)=1

考虑等式两边 xn 的系数，n>0 时，等式右边 xn 系数为 0，考察等式左边，我们有：

p(n)−p(n−1)−p(n−2)+p(n−5)+p(n−7)+⋯=0

由此我们可以得到一个 p(n) 的递归式，在竞赛中，我们常根据这个递归式预处理 1~n 的 p(n)，时间复杂度为 O(nn√)

双射的证明

（我的英语非常差劲，以下的内容是我根据 wiki 的内容自己口胡的。。。

我们要证明：

ϕ(x)=∑k=−∞∞(−1)kxk(3k−1)2

考虑欧拉函数 ϕ(x)=∏∞k=1(1−xk) 的 xn 项系数的组合意义，它等于：把 n 拆成偶数个互不相同的正整数的和的方案数 - 把 n 拆成奇数个互不相同的正整数的和的方案数。

举例来说，考虑 x5 的系数，我们有 2 种方法把 5 拆成偶数个互不相同的正整数的和 (1+4, 2+3)，有 1 种方法把 5 拆成奇数个互不相同的正整数的和 (5)，所以 x5 的系数为 1；

同理，x12 的系数为 −1，因为我们有 7 种方法把 12 拆成偶数个（互不相同的正整数）和，但是有 8 种方法把它拆成奇数个部分的和。

对于正整数 n，我们尝试把它的偶数划分和奇数划分一一对应起来，考虑 n 的任意一种划分的 Ferrers 图，下图展示了 n=20 的一种划分：20=7+6+4+3：

0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0

令 m 等于Ferrers图最后一行（即最小的数对应的那一行）的元素个数，在上例中，m=3

令 s 等于Ferrers图最右边的 45度斜线 上的元素个数，这里 s=2

我们标记的元素展示如下图：

0 0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 2

0 0 0 0

1 1 1

考虑 s 和 m 的大小关系：

若 s<m，我们把最右45度斜线上的元素取出来，组成新的一行，新的Ferrers图对应了一种新的拆分，如下图：

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1

2 2

若 m≤s（例如上图中就有 m=2,s=5），我们把最后一行 m 个元素取出来，进行相反的过程，在前 m 行末尾各添加一个元素：

0 0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 0 2

0 0 0 0

1 1 1

不难发现，这样的过程能够由一种 n 拆分得到另一种奇偶性不同的拆分，并且对一种拆分进行两次上述过程能得到原来的拆分（即操作可逆）。这使得我们可以把一种奇拆分和偶拆分对应起来，它们对 xn 的 +1 和 −1 的贡献相互抵消，最终使得系数为 0，这个规律对每一项都适用——除了有些时候，不是所有 n 的拆分都能进行上述过程，有两种情形：

<1> m=s 并且45度斜线和最后一行相遇：

0 0 0 0 2

0 0 0 2

1 1 1

尝试进行上述操作，我们会得到：

0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 1

1

注意到这次操作没有改变拆分的奇偶性，并且它是不可逆的，令 k=m，我们有：

n=k+(k+1)+(k+2)+⋯+(2k−1)=k(3k−1)2

这一项贡献的符号与m的奇偶性相关，等于 (−1)k

<2> m=s+1 并且45度斜线和最后一行相遇：

0 0 0 0 0 2

0 0 0 0 2

1 1 1 2

尝试进行上述操作，我们得到：

0 0 0 0 0

0 0 0 0

1 1 1

2 2 2

这甚至不是一个合法的方案，令 k=1−m，我们有：

n=(1−k)+(2−k)+⋯+(−2k)=k(3k−1)2

这一项贡献的符号为 (−1)k

总之，我们展示了对于一般的 n，n 拆分成奇数个不同的正整数的方案和 n 拆分成偶数个不同的正整数的方案恰好能互相抵消。特别地，n 若是一个广义五边形数 gk=k(3k−1)2，这种情况下 n 的奇偶拆分互相抵消之后，会留下一项，符号为 (−1)k，这恰好等于等式右边，证明完毕。