陶哲轩实分析 7.2 节习题试解

陶哲轩实分析 7.2 节习题试解

7.2.1 级数 ∑∞n=1(−1)n 是收敛还是发散？

发散。

7.2.2 证明命题 7.2.5

设 Sn=∑ni=0ai 是部分和。

那么 (Sn)∞n=0 收敛当且仅当 (Sn)∞n=0 是柯西列。

等价于 |∑qn=pan|≤ε 对于一切的 p,q≥N

7.2.3 证明推论 7.2.6

设 Sn=∑ni=0ai 是部分和。

那么 (Sn)∞n=0 收敛当且仅当 (Sn)∞n=0 是柯西列。

对任意的 ε>0 都存在 N>0，当 p,q≥N 时有 |Sp−Sq|≤ε

如果我们取 q=p−1 那么

|Sp−Sq|=|Sp−Sp−1|=|ap|≤ε

所以

limn→∞an=0

7.2.4 证明命题 7.2.9

因为 ∑∞n=man 是绝对收敛的，所以对任意的 ε>0，都存在整数 N≥m 使得

∣∣∣∣∑n=pq|an|∣∣∣∣=∑n=pq|an|≤ε

所以

∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤∑n=pq|an|≤ε

所以 ∑∞n=man 是条件收敛的。

∣∣∣∣∑n=p∞an∣∣∣∣=limq→∞∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤ε

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣=≤≤≤∣∣∣∣∑n=mpan+∑n=p∞an∣∣∣∣∣∣∣∑n=mpan∣∣∣+ε∑n=mp|an|+ε∑n=m∞|an|+ε

所以

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣−ε≤∑n=m∞|an|

因为 ε 可以为任意小的正数。所以有

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤∑n=m∞|an|

7.2.5 证明命题 7.2.14

（a） 设 Sa(N)=∑Nn=man，Sb(N)=∑Nn=mbn，Sab(N)=∑Nn=m(an+bn)

对任意的实数 ε>0 都存在 N 当 p,q>N 时有

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤ε2∣∣∣∑n=m∞bn∣∣∣≤ε2

所以

∣∣∣∑n=m∞(an+bn)∣∣∣≤∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣+∣∣∣∑n=m∞bn∣∣∣≤ε

所以 ∑∞n=m(an+bn) 是收敛的。

那么有

Sab(N)=Sa(N)+Sb(N)limN→∞Sab(N)=limN→∞Sa(N)+limN→∞Sb(N)

所以

∑n=m∞(an+bn)=∑n=m∞an+∑n=m∞bn

（b）设 Sa(N)=∑Nn=man，设 Sca(N)=∑Nn=mc×an

对任意的实数 ε>0 都存在 N 当 p,q>N 时有

∣∣∣∑n=m∞an∣∣∣≤ε|c|

所以

∣∣∣∑n=m∞can∣∣∣≤ε

所以 ∑∞n=mcan 是收敛的。

那么有

Sca(N)=cSa(N)limN→∞Sca(N)=climN→∞Sa(N)

所以

∑n=m∞can=c×∑n=m∞an

（c）

假设 ∑∞n=man 是收敛的。那么对任意的实数 ε>0 都存在 N>m 当 p,q>N 时有

∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤ε

那么自然当 p,q>N+k 时有

∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤ε

所以 ∑∞n=m+kan 是收敛的。

假设 ∑∞n=m+kan 是收敛的。那么对任意的实数 ε>0 都存在 N>m+k 当 p,q>N 时有

∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤ε

所以 ∑∞n=man 是收敛的。

设 S1(N)=∑Nn=man， S2(N)=∑Nn=m+kan

当 N>m+k 时有

S1(N)=∑n=mm+k−1an+S2(N)limN→∞S1(N)=∑n=mm+k−1an+limN→∞S2(N)

所以

∑n=m∞an=∑n=mm+k−1an+∑n=m+k∞an

（d）

因为

∑n=m∞an=x

所以对任意的实数 ε>0 都存在 N>m 当 p,q>N 时有

∣∣∣∣∑n=pqan∣∣∣∣≤ε

那么

∣∣∣∣∑n=p+kq+kan−k∣∣∣∣≤ε

也就是说当 p,q≥N+k 时有

∣∣∣∣∑n=pqan−k∣∣∣∣≤ε

所以 ∑∞n=m+kan−k 是收敛的。

设 S1(N)=∑Nn=man， S2(N)=∑N+kn=m+kan−k

那么有

S1(N)=S2(N)limN→∞S2(N)=limN→∞S1(N)=x

所以 ∑∞n=m+kan−k=x

7.2.6 证明引理 7.2.15

设 (an)∞n=0 是实数列，收敛到 0，那么级数 ∑∞n=0(an−an+1) 收敛到 a0。

数学归纳法证明部分和 SN=a0−aN+1

当 N=0 时，

S0=a0−a1

假设当 N=n 时

SN=a0−aN+1

那么当 N=n+1 时

SN+1=SN+(aN+1−aN+2)=a0−aN+2

所以

SN=a0−aN+1

limn→∞SN=limn→∞(a0−aN+2)=a0