陶哲轩实分析 7.2 节习题试解

陶哲轩实分析 7.2 节习题试解

7.2.1 级数 是收敛还是发散？

发散。

7.2.2 证明命题 7.2.5

设 是部分和。

那么 收敛当且仅当 是柯西列。

等价于 对于一切的

7.2.3 证明推论 7.2.6

设 是部分和。

那么 收敛当且仅当 是柯西列。

对任意的 都存在 ，当 时有

如果我们取 那么

所以

7.2.4 证明命题 7.2.9

因为 是绝对收敛的，所以对任意的 ，都存在整数 使得

所以

所以 是条件收敛的。

所以

因为 可以为任意小的正数。所以有

7.2.5 证明命题 7.2.14

（a） 设 ，，

对任意的实数 都存在 当 时有

所以

所以 是收敛的。

那么有

所以

（b）设 ，设

对任意的实数 都存在 当 时有

所以

所以 是收敛的。

那么有

所以

（c）

假设 是收敛的。那么对任意的实数 都存在 当 时有

那么自然当 时有

所以 是收敛的。

假设 是收敛的。那么对任意的实数 都存在 当 时有

所以 是收敛的。

设 ，

当 时有

所以

（d）

因为

所以对任意的实数 都存在 当 时有

那么

也就是说当 时有

所以 是收敛的。

设 ，

那么有

所以

7.2.6 证明引理 7.2.15

设 是实数列，收敛到 ，那么级数 收敛到 。

数学归纳法证明部分和

当 时，

假设当 时

那么当 时

所以