Dijkstra最短路径算法
2016-10-03 13:54
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Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,比如数据结构、图论、运筹学等。
1、算法思想
令G = (V,E)为一个带权有向图,把图中的顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合S(初始时S中只有源节点,以后每求得一条最短路径,就将它对应的顶点加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中);第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中,总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。
2、算法步骤
(1)初始化时,S只含有源节点;
(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度);
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源节点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离;
(4)重复步骤(2)和(3),直到所有顶点都包含在S中。
具体图例与算法执行步骤:(就从A开始,到各节点的最短路径)。
具体执行步骤如下图所示。
Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的最短路径路由算法,用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展,直到扩展到终点为止。Dijkstra算法能得出最短路径的最优解,但由于它遍历计算的节点很多,所以效率低。
Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法,在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍,比如数据结构、图论、运筹学等。
1、算法思想
令G = (V,E)为一个带权有向图,把图中的顶点集合V分成两组,第一组为已求出最短路径的顶点集合S(初始时S中只有源节点,以后每求得一条最短路径,就将它对应的顶点加入到集合S中,直到全部顶点都加入到S中);第二组是未确定最短路径的顶点集合U。在加入过程中,总保持从源节点v到S中各顶点的最短路径长度不大于从源节点v到U中任何顶点的最短路径长度。
2、算法步骤
(1)初始化时,S只含有源节点;
(2)从U中选取一个距离v最小的顶点k加入S中(该选定的距离就是v到k的最短路径长度);
(3)以k为新考虑的中间点,修改U中各顶点的距离;若从源节点v到顶点u的距离(经过顶点k)比原来距离(不经过顶点k)短,则修改顶点u的距离值,修改后的距离值是顶点k的距离加上k到u的距离;
(4)重复步骤(2)和(3),直到所有顶点都包含在S中。
具体图例与算法执行步骤:(就从A开始,到各节点的最短路径)。
具体执行步骤如下图所示。
#include "stdio.h" #include "stdlib.h" #include "io.h" #include "math.h" #include "time.h" #define OK 1 #define ERROR 0 #define TRUE 1 #define FALSE 0 #define MAXEDgE 20 #define MAXVEX 20 #define INFINITY 65535 typedef int Status; /* Status是函数的类型,其值是函数结果状态代码,如OK等 */ typedef struct { int vexs[MAXVEX]; int arc[MAXVEX][MAXVEX]; int numVertexes, numEdges; }Mgraph; typedef int Patharc[MAXVEX]; /* 用于存储最短路径下标的数组 */ typedef int ShortPathTable[MAXVEX]; /* 用于存储到各点最短路径的权值和 */ void CreateMgraph(Mgraph *g) { int i, j; /* printf("请输入边数和顶点数:"); */ g->numEdges=16; g->numVertexes=9; for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */ { g->vexs[i]=i; } for (i = 0; i < g->numVertexes; i++)/* 初始化图 */ { for ( j = 0; j < g->numVertexes; j++) { if (i==j) g->arc[i][j]=0; else g->arc[i][j] = g->arc[j][i] = INFINITY; } } g->arc[0][1]=1; g->arc[0][2]=5; g->arc[1][2]=3; g->arc[1][3]=7; g->arc[1][4]=5; g->arc[2][4]=1; g->arc[2][5]=7; g->arc[3][4]=2; g->arc[3][6]=3; g->arc[4][5]=3; g->arc[4][6]=6; g->arc[4][7]=9; g->arc[5][7]=5; g->arc[6][7]=2; g->arc[6][8]=7; g->arc[7][8]=4; for(i = 0; i < g->numVertexes; i++) { for(j = i; j < g->numVertexes; j++) { g->arc[j][i] =g->arc[i][j]; } } } /* Dijkstra算法,求有向网g的v0顶点到其余顶点v的最短路径P[v]及带权长度D[v] */ /* P[v]的值为前驱顶点下标,D[v]表示v0到v的最短路径长度和 */ void ShortestPath_Dijkstra(Mgraph g, int v0, Patharc *P, ShortPathTable *D) { int v,w,k,min; int final[MAXVEX]; /* final[w]=1表示求得顶点v0至vw的最短路径 */ /* 初始化数据 */ for(v=0; v<g.numVertexes; v++) { final[v] = 0; /* 全部顶点初始化为未知最短路径状态 */ (*D)[v] = g.arc[v0][v]; /* 将与v0点有连线的顶点加上权值 */ (*P)[v] = 0; /* 初始化路径数组P为0 */ } (*D)[v0] = 0; /* v0至v0路径为0 */ final[v0] = 1; /* v0至v0不需要求路径 */ /* 开始主循环,每次求得v0到某个v顶点的最短路径 */ for(v=1; v<g.numVertexes; v++) { min=INFINITY; /* 当前所知离v0顶点的最近距离 */ for(w=0; w<g.numVertexes; w++) /* 寻找离v0最近的顶点 */ { if(!final[w] && (*D)[w]<min) { k=w; min = (*D)[w]; /* w顶点离v0顶点更近 */ } } final[k] = 1; /* 将目前找到的最近的顶点置为1 */ /* 修正当前最短路径及距离 */ for(w=0; w<g.numVertexes; w++) { /* 如果经过v顶点的路径比现在这条路径的长度短的话 */ if(!final[w] && (min+g.arc[k][w]<(*D)[w])) { /* 说明找到了更短的路径,修改D[w]和P[w] */ (*D)[w] = min + g.arc[k][w]; /* 修改当前路径长度 */ (*P)[w]=k; } } } } int main(void) { int i,j,v0; Mgraph g; Patharc P; ShortPathTable D; /* 求某点到其余各点的最短路径 */ v0=0; CreateMgraph(&g); ShortestPath_Dijkstra(g, v0, &P, &D); printf("最短路径倒序如下:\n"); for(i=1;i<g.numVertexes;++i) { printf("v%d - v%d : ",v0,i); j=i; while(P[j]!=0) { printf("%d ",P[j]); j=P[j]; } printf("\n"); } printf("\n源点到各顶点的最短路径长度为:\n"); for(i=1;i<g.numVertexes;++i) printf("v%d - v%d : %d \n",g.vexs[0],g.vexs[i],D[i]); return 0; }
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