陶哲轩实分析 7.1 节习题试解

陶哲轩实分析 7.1 节习题试解

证明引理 7.1.4

（a） 设 m≤n<p 是整数，并设 ai 是实数，对应于每个整数 m≤i≤p。 那么我们有

∑i=mnai+∑i=n+1pai=∑i=mpai

数学归纳法：

当 p=n+1 时

∑i=mnai+∑i=n+1pai=∑i=mnai+an+1=∑i=mn+1ai

假设当 p=q,q>n+1 时成立：

∑i=mnai+∑i=n+1qai=∑i=mqai

那么当 p=q+1 时有：

∑i=mnai+∑i=n+1q+1ai===∑i=mnai+∑i=n+1qai+aq+1∑i=mqai+aq+1∑i=mq+1ai

（b）设 m≤n 是整数，k 是另一个整数，并设 ai 是对应于每个整数 m≤i≤n 的实数，那么我们有

∑i=mnai=∑j=m+kn+kaj−k

对 n 用数学归纳法：

当 n=m 时

∑i=mmai=am=∑j=m+km+kaj−k

假设当 n=p 时成立。

∑i=mpai=∑j=m+kp+kaj−k

那么当 n=p+1 时有：

∑i=mp+1ai====∑i=mpai+ap+1∑j=m+kp+kaj−k+ap+1∑j=m+kp+kaj−k+∑j=p+1+kp+1+kaj−k∑j=m+kp=1+kaj−k

（c）设 m≤n 是整数，并设 ai,bi 是对应于每个整数 m≤i≤n 的实数，那么我们有

∑i=mn(ai+bi)=∑i=mnai+∑i=mnbi

对 n 用数学归纳法：

当 n=m 时

∑i=mm(ai+bi)=am+bm=∑i=mmai+∑i=mmbi

假设对于 n=p 成立:

∑i=mp(ai+bi)=∑i=mpai+∑i=mpbi

那么当 n=p+1 时，有：

∑i=mp+1(ai+bi)===∑i=mp(ai+bi)+(ap+1+bp+1)∑i=mpai+∑i=mpbi+(ap+1+bp+1)∑i=mp+1ai+∑i=mp+1bi

（d）设 m≤n 是整数，并设 ai 是对应于每个整数 m≤i≤n 的实数，设 c 是实数，那么我们有

∑i=mn(cai)=c(∑i=mnai)

对 n 用数学归纳法：

当 n=m 时

∑i=mm(cai)=cam=c(∑i=mmai)

假设对于 n=p 成立。

∑i=mp(cai)=c(∑i=mpai)

那么当 n=p+1 时，有：

∑i=mp+1(cai)===∑i=mp(cai)+cap+1c(∑i=mpai+ap+1)c⎛⎝∑i=mp+1ai⎞⎠

（e）（关于有限级数的三角不等式）设 m≤n 是整数，并设 ai 是对应于每个整数m≤i≤n 的实数，那么我们有：

∣∣∣∑i=mnai∣∣∣≤∑i=mn|ai|

对 n 用数学归纳法：

当 n=m 时

∣∣∣∑i=mmai∣∣∣=|am|≤∑i=mm|ai|

假设对于 n=p 成立。

∣∣∣∑i=mpai∣∣∣≤∑i=mp|ai|

那么当 n=p+1 时，有：

∣∣∣∣∑i=mp+1ai∣∣∣∣=≤≤∣∣∣∑i=mpai+ap+1∣∣∣∣∣∣∑i=mpai∣∣∣+|ap+1|∑i=mp|ai|+|ap+1|=∑i=mp+1|ai|

（f）（有限级数的比较法则）设 m≤n 是整数， ai 是对应于每个整数m≤i≤n 的实数，并设对于一切 m≤i≤n, ai≤bi，那么我们有：

∑i=mnai≤∑i=mnbi

对 n 用数学归纳法：

当 n=m 时

∑i=mmai=am≤bm=∑i=mmbi

假设对于 n=p 成立。

∑i=mpai≤∑i=mpbi

那么当 n=p+1 时，有：

∑i=mp+1ai=≤≤≤∑i=mpai+ap+1∑i=mpbi+ap+1∑i=mpbi+bp+1∑i=mp+1bi

7.1.2 证明引理 7.1.11

（a）如果 X 是空集，并且f:→R 是函数（即 f 是空函数），那么我们有：

∑x∈Xf(x)=0

证明：

构造一个一一映射：h:∅→∅，那么有

∑x∈Xf(x)=∑i=0−1f(h(0))=0

（b）如果 X 是由一个单个元素组成：x=x0，并且 f:X→R 是函数，那么我们有：

∑x∈Xf(x)=f(x0)

证明：

构造一个一一映射 h:{0}→X 满足 h(0) = x_0h(0)=x0

那么：

∑x∈Xf(x)=∑i=00f(h(i))=f(x0)

（c）（代入法 I） 如果 X 是有限集合，f:X→R 是函数，并且 g:Y→X 是双射，那么

∑x∈Xf(x)=∑y∈Yf(g(y))

设 X 有 N 个元素，构造一个双射 h:{1,2,⋯,N}→X 那么：

∑x∈Xf(x)=∑i=1Nf(h(i))

另外 p=g−1.h:{1,2,⋯,N}→Y 也是双射。

∑y∈Yf(g(y))=∑i=1Nf(g(p(i)))=∑i=1Nf(h(i))

所以：

∑x∈Xf(x)=∑y∈Yf(g(y))

（d）（代入法 II）设 n≤m 是整数，并设 X 是集合

X:{i∈Z:n≤i≤m}

如果 ai 是实数，对应于每个整数 i∈X，那么

∑i=nmai=∑i∈Xai

构造一个双射 h(i)=i。

那么

∑i∈Xai=∑i=nmah(i)=∑i=nmai

（e）设 X,Y 是不相交的有限集合，并且 f:X⋃Y→R 是函数，那么

∑x∈X⋃Yf(z)=(∑x∈Xf(x))+⎛⎝∑y∈Yf(x)⎞⎠

设 X 有 Nx 个元素，构造一个双射 hx:{1,2⋯,Nx}→X，设 Y 有 Ny 个元素，构造一个双射 hy:{Nx+1,2⋯,Nx+Ny}→Y。那么 h:{1,2⋯,Nx+Ny}→X⋃Y 满足：

$$

h(i) = \left{hx(i)hy(i)x∈{1,2⋯,Nx}x∈{Nx+1,2⋯,Nx+Ny}

\right.

$$

也是双射。

那么：

∑x∈X⋃Yf(z)===∑i=1Nx+Nyf(h(i))∑i=1Nxf(hx(i))+∑i=Nx+1Nx+Nyf(hy(i))(∑x∈Xf(x))+⎛⎝∑y∈Yf(x)⎞⎠

（f）（线性性质I）设 X 是有限集合，设 f:X→R 和 g:X→R 都是函数，那么

∑x∈X(f(x)+g(x))=∑x∈Xf(x)+∑x∈Xg(x)

设 X 有 N 个元素，构造一个双射 h:{1,2⋯,N}→X

那么：

∑x∈X(f(x)+g(x))===∑i=1N(f(x)+g(x))∑i=1Nf(x)+∑i=1Ng(x)∑x∈Xf(x)+∑x∈Xg(x)

（g）（线性性质II）设 X是有限集合，设　f:X→R 是函数，并设 c 是实数，那么

∑x∈Xcf(x)=c∑x∈Xf(x)

设 X 有 N 个元素，构造一个双射 h:{1,2⋯,N}→X

那么：

∑x∈Xcf(x)===∑i=1Ncf(h(i))c∑i=1Nf(h(i))c∑x∈Xf(x)

（h） （单调性）设 X 是有限集合，并设 f:X→R 和 g:X→R 都是函数，他们对于一切的 x∈X 满足f(x)≤g(x)。那么

∑x∈Xf(x)≤∑x∈Xg(x)

证明：

设 X 有 N 个元素，构造一个双射 h:{1,2⋯,N}→X

那么：

∑x∈Xf(x)=≤∑i=1Nf(h(i))∑i=1Ng(h(i))=∑x∈Xg(x)

（i）（三角不等式）设 X 是有限集合，并设 f:X→R 是函数，那么

∣∣∣∣∑x∈Xf(x)∣∣∣∣≤∑x∈X|f(x)|

设 X 有 N 个元素，构造一个双射 h:{1,2⋯,N}→X

那么：

∣∣∣∣∑x∈Xf(x)∣∣∣∣=≤∣∣∣∣∑i=1Nf(h(i))∣∣∣∣∑i=1N|f(h(i))|=∑x∈X|f(x)|

7.1.3 构做有限乘积 ∏ni=1ai 和 ∏x∈Xf(x) 的定义。

$$

\prod_{i=m}^{n} a_i := 1 , \ 如果 n < m \

\prod_{i=m}^{n} a_i :=\left( \prod_{i=m}^{n-1} a_i \right) \times a_n \

\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{i=1}^{n} f(h(i))

$$

7.1.4 证明二项公式

(x+y)n=∑j=0nn!j!(n−j)!xjyn−j

对一切自然数成立。

数学归纳法：

当 n=0 时

(x+y)0=1=∑j=000!0! 0!x0y0

假设对于 n=m 时成立

(x+y)m=∑j=0mm!j!(m−j)!xjym−j

那么当 n=m+1 时

(x+y)m+1========(x+y)m(x+y)(x+y)∑j=0mm!j!(m−j)!xjym−j∑j=0mm!j!(m−j)!xj+1ym−j+∑j=0mm!j!(m−j)!xjym+1−j∑j=1m+1m!(j−1)!(m+1−j)!xjym+1−j+∑j=0mm!j!(m−j)!xjym+1−jxm+1+∑j=1mm!(j−1)!(m+1−j)!xj+1ym−j+∑j=1mm!j!(m−j)!xjym+1−j+ym+1xm+1+∑j=1m(j×m!j!(m+1−j)!+(m+1−j)×m!j!(m+1−j)!)xjym+1−j+ym+1xm+1+∑j=1m(m+1)!j!(m+1−j)!xjym+1−j+ym+1∑j=0m+1(m+1)!j!(m+1−j)!xjym+1−j

7.1.5 设 X 是有限集合，设 m 是整数，并且对于每个 x∈X 令 an(x)∞n=m 是一个收敛的实数序列。证明序列 (∑x∈Xan(x))∞n=m是收敛的。并且

limn→∞∑x∈Xan(x)=∑x∈Xlimn→∞an(x)

设 X 的元素个数为 N。

当 N=1 时

(∑x∈Xan(x))∞n=m=(an(x))∞n=m

是收敛的实数序列。

假设当 N=M 时

(∑x∈Xan(x))∞n=m=(bn)∞n=m

也是收敛的实数序列。

那么当 N=M+1 时

(∑x∈Xan(x))∞n=m=(bn+an(xM+1))∞n=m

也是收敛的实数序列。

当 N=1 时

limn→∞∑x∈Xan(x)=∑x∈Xlimn→∞an(x)

成立。

假设当 N=M 时

limn→∞∑x∈Xan(x)=∑x∈Xlimn→∞an(x)

成立。

那么当N=M+1 时

limn→∞∑x∈Xan(x)==∑x∈X/x0limn→∞an(x)+limn→∞an(x0)∑x∈Xlimn→∞an(x)

成立。