陶哲轩实分析 7.1 节习题试解

陶哲轩实分析 7.1 节习题试解

证明引理 7.1.4

（a） 设 是整数，并设 是实数，对应于每个整数 。 那么我们有

数学归纳法：

当 时

假设当 时成立：

那么当 时有：

（b）设 是整数， 是另一个整数，并设 是对应于每个整数 的实数，那么我们有

对 用数学归纳法：

当 时

假设当 时成立。

那么当 时有：

（c）设 是整数，并设 是对应于每个整数 的实数，那么我们有

对 用数学归纳法：

当 时

假设对于 成立:

那么当 时，有：

（d）设 是整数，并设 是对应于每个整数 的实数，设 是实数，那么我们有

对 用数学归纳法：

当 时

假设对于 成立。

那么当 时，有：

（e）（关于有限级数的三角不等式）设 是整数，并设 是对应于每个整数 的实数，那么我们有：

对 用数学归纳法：

当 时

假设对于 成立。

那么当 时，有：

（f）（有限级数的比较法则）设 是整数， 是对应于每个整数 的实数，并设对于一切 , ，那么我们有：

对 用数学归纳法：

当 时

假设对于 成立。

那么当 时，有：

7.1.2 证明引理 7.1.11

（a）如果 是空集，并且 是函数（即 是空函数），那么我们有：

证明：

构造一个一一映射：，那么有

（b）如果 是由一个单个元素组成：，并且 是函数，那么我们有：

证明：

构造一个一一映射 满足 h(0) = x_0

那么：

（c）（代入法 I） 如果 是有限集合， 是函数，并且 是双射，那么

设 有 N 个元素，构造一个双射 那么：

另外 也是双射。

所以：

（d）（代入法 II）设 是整数，并设 是集合

如果 是实数，对应于每个整数 ，那么

构造一个双射 。

那么

（e）设 是不相交的有限集合，并且 是函数，那么

设 有 个元素，构造一个双射 ，设 有 个元素，构造一个双射 。那么 满足：

$$

h(i) = \left{

\right.

$$

也是双射。

那么：

（f）（线性性质I）设 是有限集合，设 和 都是函数，那么

设 有 个元素，构造一个双射

那么：

（g）（线性性质II）设 是有限集合，设　 是函数，并设 是实数，那么

设 有 个元素，构造一个双射

那么：

（h） （单调性）设 是有限集合，并设 和 都是函数，他们对于一切的 满足。那么

证明：

设 有 个元素，构造一个双射

那么：

（i）（三角不等式）设 是有限集合，并设 是函数，那么

设 有 个元素，构造一个双射

那么：

7.1.3 构做有限乘积 和 的定义。

$$

\prod_{i=m}^{n} a_i := 1 , \ 如果 n < m \

\prod_{i=m}^{n} a_i :=\left( \prod_{i=m}^{n-1} a_i \right) \times a_n \

\prod_{x \in X} f(x) = \prod_{i=1}^{n} f(h(i))

$$

7.1.4 证明二项公式

对一切自然数成立。

数学归纳法：

当 时

假设对于 时成立

那么当 时

7.1.5 设 是有限集合，设 是整数，并且对于每个 令 是一个收敛的实数序列。证明序列 是收敛的。并且

设 的元素个数为 。

当 时

是收敛的实数序列。

假设当 时

也是收敛的实数序列。

那么当 时

也是收敛的实数序列。

当 时

成立。

假设当 时

成立。

那么当 时

成立。