[BZOJ1907]树的路径覆盖（贪心||树形dp）

题目描述

传送门

题解

准确地说看到这道题之后是没有什么思路的。

以某一个点为根的子树，这个点只有两种状态：覆盖它的线段从这里结束/覆盖它的线段不从这里结束，或者说这个点是一条线段的拐点。贪心策略是：只要当前点能成为拐点，就让它成为拐点。也就是说，贪心地将它能连的儿子连起来。可以发现把某一点的两个儿子连起来使之成为拐点和留着这个点和它上面的点连是等价的，所以这个贪心的策略是正确的。

不过其实还有一种更科学的树形dp的方法。点的两种状态可以用0/1来表示，那么转移的时候无非就这么几种情况：

①当前点是拐点：当前点是拐点并且所有的儿子都是拐点 或者 这个点不是拐点和一个不是拐点的儿子连起来变成一个拐点。

②当前点不是拐点：当前点不是拐点并且所有的儿子都是拐点 或者 只有一个儿子不是拐点然后把它和这个儿子连起来。

那么状态转移写起来就比较简单咯。

注意这里的dp有一个特点：在第二个转移中 有一个条件必须满足“只有一个儿子不是拐点”也就是当前枚举的儿子，其余的儿子都是拐点，也就是说要把以前枚举过的儿子不是拐点的情况都加起来。这一点刚开始想不大过来。

代码

贪心

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 10005

int T,n,x,y;
int tot,point
,nxt[N*2],v[N*2],ans
;
bool vis
;

void clear()
{
n=x=y=0;
tot=0; memset(point,0,sizeof(point)); memset(nxt,0,sizeof(nxt)); memset(v,0,sizeof(v)); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(ans,0,sizeof(ans));
}
void addedge(int x,int y)
{
++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
++tot; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void dfs(int x,int fa)
{
int cnt=0;
ans[x]=1;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]!=fa)
{
dfs(v[i],x);
ans[x]+=ans[v[i]];
if (!vis[v[i]]) cnt++;
}
if (cnt>=2) ans[x]-=2,vis[x]=true;
else if (cnt==1) ans[x]-=1;
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
clear();
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);
}
dfs(1,0);
printf("%d\n",ans[1]);
}
}

树形dp

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 10005

int T,n,x,y;
int tot,point
,nxt[N*2],v[N*2];
int f
[2];
bool vis
;

void clear()
{
n=x=y=0;
tot=0; memset(point,0,sizeof(point)); memset(nxt,0,sizeof(nxt)); memset(v,0,sizeof(v)); memset(vis,0,sizeof(vis)); memset(f,0,sizeof(f));
}
void addedge(int x,int y)
{
++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y;
++tot; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x;
}
void treedp(int x,int fa)
{
int cnt=0;
f[x][0]=f[x][1]=1;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]!=fa)
{
treedp(v[i],x);
f[x][0]=min(f[x][0]+f[v[i]][0],f[x][1]+f[v[i]][1]-1);
f[x][1]=min(f[x][1]+f[v[i]][0],cnt+f[v[i]][1]);
cnt+=f[v[i]][0];
}
}
int main()
{
scanf("%d",&T);
while (T--)
{
clear();
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d",&x,&y);
addedge(x,y);
}
treedp(1,0);
printf("%d\n",min(f[1][0],f[1][1]));
}
}

总结