最大子数组问题的分治求解算法

最大子数组问题，就是寻找一个数组内连续元素之和最大的子数组，如数组[1,-2,3,4,5,-6]，则最大子数组为[3,4,5]。当然，只有当数组内有负数值时才有意义，如果全部为正数，则最大子数组就是其本身。

假如有数组

arr

下标从

low

到

high

，以中点索引

mid

作为区分，索引

low~mid

为左部分，

mid+1~high

为右部分，则最大子数组可能存在于左部分、右部分以及横跨左右部分。

假如最大子数组在左部分或右部分，其仍是一个最大子数组问题，只是规模更小，因此可递归地求解

arr[low~mid]

和

arr[mid+1~high]

的最大子数组。

假如数组横跨左右两个部分，则从中间索引

mid

开始，向

low

和

high

延伸，先找到

arr[mid~low]

中的最大子数组（注意，从

mid

开始向两边找），然后找到

arr[mid+1~high]

的最大子数组。最后将两边的最大子数组进行合并，即求出横跨左右部分的最大子数组。

现在我们可以分别求得三个部分的最大子数组：左部的最大子数组、右部的最大子数组、横跨左右部的最大子数组。然后对其元素和进行比较。拥有最大元素和的最大子数组即所求。

下面是算法实现：

#include<iostream>
using namespace std;

//用于将求得的最大子数组信息进行打包
struct subarray_info{
int left;  //左界
int right;  //右界
int sum;  //最大子数组和
};

//寻找横跨左右两部分的最大子数组，并打包成subarray_info结构
void find_max_crossing_subarray(int* arr,int low,int mid,int high,subarray_info* psub){
int sum=0;
int left_sum=-10000;  //左部分最大子数组和
int right_sum=-10000;  //右部分最大子数组和
for(int i=mid;i>=low;i--){  //从mid开始，到low，求得左部的最大子数组
sum+=arr[i];

//和大于left_sum，则求得更大的子数组
if(left_sum<sum){
left_sum=sum;
psub->left=i;  //更新最大子数组左界信息，左界即此最大子数组在arr中的左部索引
}
}

sum=0;
for(int i=mid+1;i<=high;i++){  //从mid+1开始，到high，求得右部的最大子数组
sum+=arr[i];
if(right_sum<sum){  //同上
right_sum=sum;
psub->right=i;  //更新最大子数组右界信息
}
}
psub->sum=left_sum+right_sum;  //最大子数组的和即左右部分最大子数组元素和的和
}

//寻找arr下标从low到high的最大子数组，并将其信息打包成subarray_info结构
void find_maximum_subarray(int* arr,int low,int high,subarray_info* psub){
if(low==high){  //所求的数组只有一个元素值
psub->left=low;
psub->right=high;
psub->sum=arr[low];
}
else{  //所求的数组有多个元素
int mid=(low+high)/2;  //获取中间索引

//分别用不同的subarray_info来保存不同部分的最大子数组
subarray_info* p1=new subarray_info();
subarray_info* p2=new subarray_info();
subarray_info* p3=new subarray_info();

find_maximum_subarray(arr,low,mid,p1);  //左部最大子数组
find_maximum_subarray(arr,mid+1,high,p2);  //右部最大子数组
find_max_crossing_subarray(arr,low,mid,high,p3);  //横跨左右部分的最大子数组

int sum1=p1->sum;  //左部最大子数组的和
int sum2=p2->sum;  //右部
int sum3=p3->sum;  //横跨左右部
if(sum1>=sum2 && sum1>=sum3){  //左部的最大，更新psub
psub->left=p1->left;
psub->right=p1->right;
psub->sum=p1->sum;
}
else if(sum2>=sum1 && sum2>=sum3){  //右部的最大
psub->left=p2->left;
psub->right=p2->right;
psub->sum=p2->sum;
}
else{  //横跨两部分的最大
psub->left=p3->left;
psub->right=p3->right;
psub->sum=p3->sum;
}
}
}
int main(){
int arr[16]={13,-3,-25,20,-3,-16,-23,18,20,-7,12,-5,-22,15,-4,7};
subarray_info* psub=new subarray_info();
find_maximum_subarray(arr,0,15,psub);
cout<<"左界:"<<psub->left<<endl;
cout<<"右界:"<<psub->right<<endl;
cout<<"最大子数组元素和:"<<psub->sum<<endl;
return 0;
}

RESULT:
左界:7
右界:10
最大子数组元素和:43