逆序数计数问题

逆序数问题的形化表示

输入：一组n个不同的数的序列A

输入：逆序数对数记为 num，如果 i < j 而 a[i] > a[j] ，那么就是逆序数对

逆序数技术问题是排序算法的某种变形。

方法一：暴力破解法（类似于冒泡排序）

思路：列举出所有的数组对，一共有 n*(n-1)/2 对，判断这些是否为逆序数对数。

时间复杂度：O(n^2)

方法二：运用divide-and-conquer，借鉴归并排序或者快排的思想，其时间复杂度为 O（nlogn）

1) 借鉴归并排序思想

将一个规模为n的逆序数计数问题分成2个规模为n/2的子问题，递归调用计算各个子问题产生的逆序数记为 RC_left 和 RC_right ，再将子问题进行合并同时计算此过程中产生的逆序数记为 RC，最后返回的是已经排序好的序列以及A
中的逆序数对数 num = RC + RC_left + RC_right 。

如图，假设左右两个子序列已经排序好，其逆序数对数分别为 RC_left 和 RC_right



在合并过程中5与4进行比较，可得出一对逆序数对。将4排序好后，就省去了与后续的 6，7，8进行比较，相对于暴力算法节省了次数。重复此过程完成两个子问题的合并得到逆序数对数为RC。

算法代码如下

std::vector<int> v (100000) ;
std::vector<int> v_temp(100000) ;
int SortAndCount ( std::vector<int> & v , int low , int high ) {
if ( low >= high )
return 0;
int mid = ( low + high ) / 2 ;
int left_RC = SortAndCount ( v , low , mid ) ;
int Right_RC = SortAndCount ( v , mid+1, high ) ;
int RC = MergeAndCount ( v , low , mid , high ) ;
return ( RC + left_RC + Right_RC ) ;
}

int MergeAndCount ( std::vector<int> & v , int low , int mid , int high ) {
//i,j分别为左右两个序列的索引，k为排序后的新数组的索引
int i = low , k = low , j = mid+1 , RC = 0 ;
while ( i <= mid && j <= high ) {
if ( v [i] <  v [j] )
v_temp [k++] = v[i++] ;
else {
v_temp [k++] = v[j++] ;
RC += mid - i + 1 ;
}
}
while ( i <= mid ) v_temp[k++] = v[i++] ;
while( j <= high ) v_temp[k++] = v[j++] ;
//将排序后的数组元素赋值给v
for( int m = low ; m <= high ; m++ )
v[m] = v_temp[m] ;
return RC ;
}

2）运用divide-and-conquer方法，借鉴快排的思想

[据大神说，是可以用快排做出来的，以后来更]