2014 xi'an Problem F. Color (Gym 100548F) 容斥原理

题意：给出n个需要涂色的格子排成一列，有m种颜色，需要从中选出k种颜色，使得任意两个相邻格子不同色。

(n、m<=1e9,k<=1e6)

解法：

容斥原理，首先能想到计算C(m,k),之后考虑的问题是现在用恰好k种颜色去涂色。

首先k*pow(k-1,n)表示的是至多用k种颜色的种数，然后如果想得到恰好用k种颜色的方案数，就用容斥原理，奇加偶减。

#include<cstdio>
#include<string>
#include<cstring>
#include<iostream>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<vector>
using namespace std;

#define all(x) (x).begin(), (x).end()
#define for0(a, n) for (int (a) = 0; (a) < (n); (a)++)
#define for1(a, n) for (int (a) = 1; (a) <= (n); (a)++)
#define mes(a,x,s)  memset(a,x,(s)*sizeof a[0])
#define mem(a,x)  memset(a,x,sizeof a)
#define ysk(x)  (1<<(x))
typedef long long ll;
typedef pair<int, int> pii;
const int INF =0x3f3f3f3f;
const int maxK=1e6+0.5 ;
const ll mod=1e9+7;
ll N,M,K;

ll inv[maxK+10],C[maxK+10];

ll qb(ll a,ll n)
{
ll ans=1;
while(n)
{
if(n&1) ans=ans*a%mod;
a=a*a%mod;
n>>=1;
}
return ans;
}
void pre()
{
C[0]=1;
for1(i,K)//C(K,i)
{
C[i]=C[i-1]*(K-i+1)%mod*inv[i]%mod;
}
}

ll calC(ll n,ll m)
{
ll ans=1;
for1(i,m)
{
ans=ans*(n-i+1)%mod*inv[i]%mod;
}
return ans;
}
void solve()
{
ll ans=0,ret=1;
pre();
for(int i=K;i>=1;i--)
{
ans+=ret*C[i]*i%mod*qb(i-1,N-1)%mod;
ans=(ans%mod+mod)%mod;
ret*=-1   ;
}
ans*=calC(M,K);
ans=(ans%mod+mod)%mod;

printf("%lld\n",ans);
}

void init()
{
inv[0]=1;
for1(i,maxK)  inv[i]=qb(i,mod-2);
}
int main()
{
std::ios::sync_with_stdio(false);
init();
int T,kase=0;cin>>T;
while(T--)
{
cin>>N>>M>>K;
printf("Case #%d: ",++kase);
pre();
solve();

}
return 0;
}