求最大公约数-辗转相除法

代码很好写，查了半天不见原理，那我就写一个原理出来：

首先贴一下代码，来自百度百科：

public static int gcd(int m, int n) {
while (true) {
if ((m = m % n) == 0)
return n;
if ((n = n % m) == 0)
return m;
}
}

该方法建立的原理是：

两个数的最大公约数，等于，其中较小的一个数，与两数相除的余数的最大公约数

为什么呢？

假设有两数：

num1 = A * b

num2 = A * c

可以看到，两个数的最大公约数是 A

两数相除为：

num1/num2 = (A * b)/(A* c) = A*(b/c)

余数显然就是 A*(b%c),仍含有 A

此时余数和num2还是有共同的公约数，A

第二个问题来了，那么A还是最大公约数吗？我们之前提取了最大公约数A后，b，c是没有最大公约数的，或者说最大公约数为1

我们假设：

b = e*c + d

如果c（较小的数），d（余数），有一个共同的大于1的公约数 x，那么:

c_ = c/x

d_ = d/x

b = e*c_* x + d_* x = (e*c_ + d_) * x = (Y) * x

此时 b 也有约数 x 了，那么b，c的最大公约数就是一个大于1的数 x，与已知的事实不符合。所以证明：

较小值 和 余数 的最大公约数 仍然是 A