BZOJ1057 [ZJOI2007]棋盘制作

Description

　　国际象棋是世界上最古老的博弈游戏之一，和中国的围棋、象棋以及日本的将棋同享盛名。据说国际象棋起源
于易经的思想，棋盘是一个8*8大小的黑白相间的方阵，对应八八六十四卦，黑白对应阴阳。而我们的主人公小Q，
正是国际象棋的狂热爱好者。作为一个顶尖高手，他已不满足于普通的棋盘与规则，于是他跟他的好朋友小W决定
将棋盘扩大以适应他们的新规则。小Q找到了一张由N*M个正方形的格子组成的矩形纸片，每个格子被涂有黑白两种
颜色之一。小Q想在这种纸中裁减一部分作为新棋盘，当然，他希望这个棋盘尽可能的大。不过小Q还没有决定是找
一个正方形的棋盘还是一个矩形的棋盘（当然，不管哪种，棋盘必须都黑白相间，即相邻的格子不同色），所以他
希望可以找到最大的正方形棋盘面积和最大的矩形棋盘面积，从而决定哪个更好一些。于是小Q找到了即将参加全
国信息学竞赛的你，你能帮助他么？

Input

　　第一行包含两个整数N和M，分别表示矩形纸片的长和宽。接下来的N行包含一个N * M的01矩阵，表示这张矩形
纸片的颜色（0表示白色，1表示黑色）。

Output

　　包含两行，每行包含一个整数。第一行为可以找到的最大正方形棋盘的面积，第二行为可以找到的最大矩形棋
盘的面积（注意正方形和矩形是可以相交或者包含的）。

Sample Input

3 3

1 0 1

0 1 0

1 0 0

Sample Output

4

6

HINT

N, M ≤ 2000

正解：单调栈 or 悬线法

解题报告：

　　为了巩固单调栈来写的这道题...

　　对于一个题目要求的棋盘我们不是很好直接求，考虑我们可以把其转换成我们熟悉的模型——最大全0子矩阵。对于为0而且横纵坐标奇偶性不同的标为1，为1而且横纵坐标奇偶性相同的标为1；对于为1而且横纵坐标不同的标为0，对于为0而且横纵坐标相同的标为0。题目就转换成了最大全0子矩阵了。然后我们考虑单调栈的做法，维护一个数组，表示每个点最多可以往右拓展多远（1为障碍）。按列做，一行行扫，单调栈里面维护一个拓展宽度递增的值，发现当前行的这一列已经比栈顶元素小了，就弹栈直到合法。注意时刻更新一下答案，和栈中每个元素的实际控制范围（即往上可以到达哪一行）。考虑我们如果栈顶元素为S，那么i到栈顶所在行之间一定都比S大，不然S会在之前已经被弹出栈，所以相当于是S到i之间的这一大块宽度就是S（其余大于S的部分没有用），画一下图就很快可以懂了。

　　当然，悬线法也是可以的，转完模型就是裸题了。

　　单调栈：

//It is made by jump~
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = (1<<30);
const int MAXN = 2011;
int n,m,ans,ans2;
int a[MAXN][MAXN];
int ri[MAXN][MAXN];//可以往右延伸多少
int stack[MAXN],top,up[MAXN];

inline int getint()
{
int w=0,q=0; char c=getchar();
while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar();
while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
}
inline void getR(){  for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=m;j>=1;j--) if(a[i][j]) ri[i][j]=ri[i][j+1]+1; else ri[i][j]=0; }
inline void getA(){
int to,lin;
for(int j=1;j<=m;j++){
top=0;
for(int i=1;i<=n;i++) {
to=i;//栈内元素的控制范围
while(top>0 && stack[top]>=ri[i][j]) {
lin=min(stack[top],i-up[top]); lin*=lin;
ans=max(ans,lin); lin=stack[top]*(i-up[top]);
ans2=max(ans2,lin);//i到栈顶元素之间的每一行能拓展的宽度一定都大于等于当前栈顶，不然当前栈顶会被弹掉(画图可知)
to=min(to,up[top]);
top--;
}
stack[++top]=ri[i][j]; up[top]=to;
}
}
}

inline void work(){
n=getint(); m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=getint();
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(((i&1)==(j&1) && a[i][j])||((i&1)!=(j&1) && !a[i][j])) a[i][j]=1; else a[i][j]=0;
getR(); getA(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=!a[i][j];
getR(); getA(); printf("%d\n%d",ans,ans2);
}

int main()
{
work();
return 0;
}

悬线法：

//It is made by jump~
#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
#include <ctime>
#include <vector>
#include <queue>
#include <map>
#include <set>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int inf = (1<<30);
const int MAXN = 2011;
int n,m,ans,ans2;
int a[MAXN][MAXN];
int topl[MAXN],topr[MAXN],nowl,nowr,up[MAXN];

inline int getint()
{
int w=0,q=0; char c=getchar();
while((c<'0' || c>'9') && c!='-') c=getchar(); if(c=='-') q=1,c=getchar();
while (c>='0' && c<='9') w=w*10+c-'0', c=getchar(); return q ? -w : w;
}

inline void getA(){
int lin; memset(up,0,sizeof(up)); //memset(topl,0,sizeof(topl)); memset(topr,0,sizeof(topr));
for(int i=1;i<=m;i++) topl[i]=1,topr[i]=m;
for(int i=1;i<=n;i++){
nowl=0,nowr=m+1;
for(int j=1;j<=m;j++) {
if(a[i][j]) {
up[j]=0;//清零
topl[j]=1; nowl=j;
}
else up[j]++,topl[j]=max(nowl+1,topl[j]);
}
for(int j=m;j>=1;j--) {
if(a[i][j]) {
topr[j]=m; nowr=j;
}
else {
topr[j]=min(topr[j],nowr-1);
lin=min(topr[j]-topl[j]+1,up[j]); lin*=lin;
ans=max(ans,lin);lin=(topr[j]-topl[j]+1)*up[j];
ans2=max(ans2,lin);
}
}
}
}

inline void work(){
n=getint(); m=getint(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=getint();
for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) if(((i&1)==(j&1) && a[i][j])||((i&1)!=(j&1) && !a[i][j])) a[i][j]=1; else a[i][j]=0;
getA(); for(int i=1;i<=n;i++) for(int j=1;j<=m;j++) a[i][j]=!a[i][j];  getA();
printf("%d\n%d",ans,ans2);
}

int main()
{
work();
return 0;
}