Java与算法之(13) - 二叉搜索树

查找是指在一批记录中找出满足指定条件的某一记录的过程，例如在数组{ 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 }中查找数字15，实现代码很简单：

int key = 15;
int[] datas = new int[] { 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 };
for(int i = 0; i < datas.length; i++) {
if(datas[i] == key) {
System.out.println("找到了, 共查找" + (i + 1) + "次");
break;
}
}

但是查找效率并不稳定，如果查找8，只需要比较一次，查找15则需要比较15次。如果数组扩大到1亿个数，而查找的数字恰好排在最后，查找则变得非常低效。

更好的查找方式是使用二叉搜索树，首先用数组构建二叉树，如下图：



二叉树的相关基础知识可参考：Java与算法之(7) - 完全二叉树

注意上面这棵二叉树的特点，每个左子节点的值都比父节点小，每个右子节点的值都比父节点大。满足这个条件的二叉树称为二叉搜索树（Binary Search Tree），也叫二叉排序树（Binary Sorting Tree）。

根据这个特性，可以得出查找的规律。以查找15为例，从根节点8开始比较，因15>8，（如果存在）则一定在8的右子树内；与右子树12比较，因15>12，（如果存在）则一定在12的右子树内；与14比较。。。与15比较，找到目标。

如果查找5，则依次比较8、4、6、5。

在这棵树中，查找任何一个数字，最多需要比较4次（约log2(15)）。介绍查找方法之前，先看如何构建这棵树。

1 插入节点

用数据描述这棵树，首选需要描述节点。用一个类来表示，每个节点包括本身的值及左右两个子节点的指针。

private static class Node {
Node leftChild;
Node rightChild;
int data;

public Node(int data) {
this.data = data;
}
}

树由节点组成，一个一个节点加进去，树叶逐渐变得枝繁叶茂。构建树的过程可以分解成不断重复的插入节点行为。

第一个加入的节点做为根节点，以后加入节点的操作和前面所述的查询过程一样，从根开始比较，如果小于则和左子节点比较，如果大于则和右子节点比较，不断重复这个过程直到到达叶子节点。比叶子节点小则做为叶子节点的左子节点，大则做为右子节点。

构建过程如下：













这个过程的逻辑是一直向下寻找，直到没有子节点为止。整个过程适合用递归的方式，主要代码如下：

public void add(int key) {
if(root == null) {
root = new Node(key);
return;
}
addNode(root, new Node(key));
}

private void addNode(Node parent, Node child) {
if(child.data == parent.data) {
return;
}
if(child.data < parent.data) {
if(parent.leftChild != null) {
addNode(parent.leftChild, child);
} else {
parent.leftChild = child;
}
} else {
if(parent.rightChild != null) {
addNode(parent.rightChild, child);
} else {
parent.rightChild = child;
}
}
}

2 查找节点

查找一个节点和插入一个节点的流程很相似，但是结果相反。插入节点是一直向下寻找，找到则插入失败，找不到则做为叶子节点加入树中。查找节点是一直向下寻找，找到则成功返回，找不到则查找失败。

代码如下：

public void search(int key) {
this.steps = 0;
Node node = searchNode(root, key);
if(node == null) {
System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 未找到" + key);
} else {
System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 搜索到" + key);
}
}

private Node searchNode(Node from, int key) {
this.steps++;
if(from == null || key == from.data) {
return from;
} else if(key > from.data) {
return searchNode(from.rightChild, key);
} else {
return searchNode(from.leftChild, key);
}
}

3 删除节点

在二叉搜索树中删除一个节点后，需要调整二叉树的结构，使其仍然保持二叉搜索树的特点。以被删除节点拥有子节点的情况，分三种情况考虑。见下图：



15节点左右子节点都没有，删除时直接把父节点14的右子节点设置为null即可
2节点没有右子节点，删除时需要把左子树连接回树中，即把4的左子节点指向1；6节点没有左子节点，删除时需要把右子树连接回书中，即把4的右子节点指向7
8节点同时拥有左右子节点，删除规则是先找到右子节点即12，然后递归12节点的左子节点，直到叶子节点，这张图中将找到9。设置8节点的值为9，并删除9节点。

按这个规则推导其他数字删除的步骤：

删除4，先找到6，6没有左子节点，查找结束，将4节点的值设置为6，按规则2删除6节点。

删除12，先找到14，递归左子节点找到13，设置12节点的值为13，删除13。

二叉搜索数完整代码如下：

public class BinarySearchTree {

private Node root;
private int steps;

/**
* 插入节点
* @param key
*/
public void add(int key) {
if(root == null) {
root = new Node(key);
return;
}
addNode(root, new Node(key));
}

private void addNode(Node parent, Node child) {
if(child.data == parent.data) {
return;
}
if(child.data < parent.data) {
if(parent.leftChild != null) {
addNode(parent.leftChild, child);
} else {
parent.leftChild = child;
}
} else {
if(parent.rightChild != null) {
addNode(parent.rightChild, child);
} else {
parent.rightChild = child;
}
}
}

/**
* 查找节点
* @param key
*/
public void search(int key) {
this.steps = 0;
Node node = searchNode(root, key);
if(node == null) {
System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 未找到" + key);
} else {
System.out.println("共查找" + this.steps + "次, 搜索到" + key);
}
}

private Node searchNode(Node from, int key) {
this.steps++;
if(from == null || key == from.data) {
return from;
} else if(key > from.data) {
return searchNode(from.rightChild, key);
} else {
return searchNode(from.leftChild, key);
}
}

/**
* 删除节点
* @param key
*/
public void delete(int key) {
Node child = root;
Node parent = child;
boolean isLeftChild = true;
while(child != null) {
if(child.data == key) {
deleteNode(parent, child, isLeftChild);
child = null;
} else if(key < child.data) {
isLeftChild = true;
parent = child;
child = child.leftChild;
} else {
isLeftChild = false;
parent = child;
child = child.rightChild;
}
}
}

private void deleteNode(Node parent, Node child, boolean isLeftChild) {
if(child.leftChild == null && child.rightChild == null) {
if(isLeftChild) {
parent.leftChild = null;
} else {
parent.rightChild = null;
}
} else if(child.leftChild == null) {
if(isLeftChild) {
parent.leftChild = child.rightChild;
} else {
parent.rightChild = child.rightChild;
}
} else if(child.rightChild == null) {
if(isLeftChild) {
parent.leftChild = child.leftChild;
} else {
parent.rightChild = child.leftChild;
}
} else {
Node leaf = child.rightChild;
parent = child;
while(leaf.leftChild != null) {
parent = leaf;
leaf = leaf.leftChild;
}
child.data = leaf.data;
if(parent != child)
parent.leftChild = leaf.leftChild;
else
parent.rightChild = leaf.rightChild;
}
}

/**
* 中序遍历二叉搜索树, 结果是从小到大排列的
* @param node
*/
public void inOrder(Node node) {
if(node == null) {
return;
}
inOrder(node.leftChild);
System.out.print(node.data + " ");
inOrder(node.rightChild);
}

private static class Node {
Node leftChild;
Node rightChild;
int data;

public Node(int data) {
this.data = data;
}
}

public static void main(String[] args) {
int[] datas = new int[] { 8, 4, 12, 2, 6, 10, 14, 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 };
BinarySearchTree bsTree = new BinarySearchTree();
for(int i = 0; i < datas.length; i++) {
bsTree.add(datas[i]);
}
System.out.print("中序遍历");
bsTree.inOrder(bsTree.root);
System.out.println();

bsTree.search(8);
bsTree.search(12);
bsTree.search(15);

System.out.println("删除节点8");
bsTree.delete(8);

System.out.print("中序遍历");
bsTree.inOrder(bsTree.root);
System.out.println();

bsTree.search(8);
}
}

运行结果：

中序遍历1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
共查找1次, 搜索到8
共查找2次, 搜索到12
共查找4次, 搜索到15
删除节点8
中序遍历1 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 15
共查找5次, 未找到8

本例中的二叉树结构是一种理想情况，如果对数组{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15}使用上面的方法构建二叉搜索树，动手画一下就可以发现最终得到的仍然是一个链表，查找15需要比较15次。



这棵树根的左右严重失衡，左侧一个子节点都没有，而右侧的深度为15。为了保证查找的效率，需要对这棵树做优化，让整棵树保持一定的平衡，这就是下一篇的主角：平衡二叉搜索树。