玲珑杯 1009 Spoon Devil's Bucket 矩阵优化DP

【题意】有n个桶，初始装有一些水，然后每一份钟都可以用已经有的关系相互倒，问经过m时间后每个桶里面的水的量分别是多少？

【分析】题意读懂之后很容易想明白，其实就是个递推的问题。但是由于M过于大，递推问题的较大项可以采取矩阵快速幂的方式。构造矩阵的话 初始矩阵明显是一个1*n的，分别是n桶水的初始水量。转移矩阵是根据分水的情况定的。第i桶水分给了第j桶水 mat[i][j]=(i的平均分水量)。

【解题方法】矩阵优化递推！

【AC 代码】

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#include <cstring>
#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
int n;
struct matrix{
double a[15][15];
void init(){
memset(a,0,sizeof(a));
}
};
matrix mul(matrix a,matrix b)
{
matrix res;
res.init();
for(int i = 0; i < n; i++){
for(int j = 0; j < n; j++){
for(int k = 0; k < n; k++){
res.a[i][j] += a.a[i][k] * b.a[k][j];
}
}
}
return res;
}
matrix pow(matrix a,int k)
{
matrix res;
res.init();
for(int i = 0; i < n; i++) res.a[i][i] = 1;
while(k)
{
if(k&1) res = mul(res,a);
a = mul(a,a);
k >>= 1;
}
return res;
}

int main()
{
int T,k,x,m;
scanf("%d",&T);
while(T--)
{
scanf("%d",&n);
matrix a,b,ans;
a.init();
b.init();
for(int i = 0; i < n; i++) scanf("%lf",&a.a[0][i]);
for(int i = 0; i < n; i++){
scanf("%d",&k);
for(int j = 0; j < k; j++){
scanf("%d",&x);
b.a[i][x-1] = 1.0/k*1.0;
}
}
scanf("%d",&m);
ans = mul(a,pow(b,m));
for(int i = 0; i < n; i++){
if(i==0) printf("%.2f",ans.a[0][i]);
else printf(" %.2f",ans.a[0][i]);
}
printf("\n");
}
return 0;
}