[BZOJ3124][Sdoi2013]直径（树形dp）

题目描述

传送门

题解

第一问so easy，两遍dfs就可以搞定。

做这道题的关键是几个性质：

①由于是求所有的直径都经过该边的边数，证明这些边一定都在同一条直径上。

②所有的满足要求的边在树上一定是连续的一段，也就是说，一定是两点之间的一条树链。这个可以用反证法，如果不是连续的一段的话，一定存在一种方案让直径更大。

那么思路就很清晰了：先找出一条直径，判断哪两个点之间的树链符合要求。那么就又牵扯到了一个性质：

③如果以某个点为根且不经过本条直径的最长链等于这个点到本条直径某个端点的距离的话，这个点之前（之后）的点一定不在合法的树链上。这个性质是非常显然的，就相当于换了一条路走。

所以只需要找出一条直径之后，依次枚举直径上的所有点，然后移动左右指针。最后左右指针中间的边数就是答案。

代码

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define N 200005
#define LL long long

int n,x,y,l,r,pt; LL z,Max,Maxn;
int tot,point
,nxt[N*2],v[N*2]; LL c[N*2];
int father
,chain
;LL dis
,ddis
;
bool vis
;

void addedge(int x,int y,LL z)
{
++tot; nxt[tot]=point[x]; point[x]=tot; v[tot]=y; c[tot]=z;
++tot; nxt[tot]=point[y]; point[y]=tot; v[tot]=x; c[tot]=z;
}
void dfs(int x,int fa)
{
if (dis[x]>Max)
{
Max=dis[x];
pt=x;
}
father[x]=fa;
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]!=fa)
{
dis[v[i]]=dis[x]+c[i];
dfs(v[i],x);
}
}
void Chain(int x)
{
while (x)
{
vis[x]=true;
chain[++chain[0]]=x;
x=father[x];
}
}
void ddfs(int x,int fa)
{
vis[x]=true;
Maxn=max(Maxn,ddis[x]);
for (int i=point[x];i;i=nxt[i])
if (v[i]!=fa&&!vis[v[i]])
{
ddis[v[i]]=ddis[x]+c[i];
ddfs(v[i],x);
}
}
int main()
{
scanf("%d",&n);
for (int i=1;i<n;++i)
{
scanf("%d%d%lld",&x,&y,&z);
addedge(x,y,z);
}
dfs(1,0);
memset(dis,0,sizeof(dis)),Max=0,dfs(pt,0);
printf("%lld\n",Max);
Chain(pt);
l=chain[0],r=1;
for (int i=chain[0];i>=1;--i)
{
Maxn=0,ddfs(chain[i],0);
if (!Maxn) continue;
if (Maxn==dis[chain[i]]) l=i;
if (Maxn==Max-dis[chain[i]]) {r=i;break;}
}
printf("%d\n",l-r);

总结

①还是离不开分析性质。什么样的题最容易需要性质？我感觉是一些条件性问题，就是问满足什么条件的有多少什么的。但是有一些性质是比较容易想到的，有一些性质就是很难想到。目前没有发现什么好的方法，只能是在猜测的基础上多尝试。