函数的可积性与原函数的存在性辨析
2016-09-23 00:52
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先看两个小的结论,有点拗口:
被积函数虽然可积,但是不能表示变上限积分函数是否可导,除非被积函数连续,即:f(x)连续,那么积分必定可导。如果不连续,积分一定不可导。
但是只要被积函数可积,则变上限积分函数必定连续。
可积比原函数存在需要的条件少一些。
变上限积分的根子还是在函数的积分,因此我们只看不定积分的一般情况。
第一类间断点的函数仍然可积,事实上,这句话的完整描述是:有限个第一类间断点的函数均可积,但是只要是第一类间断点,即使是可去间断点,仍然不存在原函数。
换句话说,只要函数连续,就一定有原函数。
But,第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的,是否可积也是不定的。
这个结论该怎么证明呢?(只详谈第一类间断点)
关于第二类间断点的可积性判断,有关广义积分与极限,这里暂时避而不谈,关注一个重点。
这么说,假设函数f(x)存在第一类间断点,那么自然可积函数是连续的。这个暂不细究,而如果认为这个可积函数是原函数,那么标准就要严苛起来了。具体严格的标准如下:原函数求导得到的是f(x)。那么必然原函数连续且可导。
可导的定义我们知道:左右导数均存在且相等。
对应到f(x)便是:f(x)的左右极限且相等。由这里知道,跳跃间断点肯定排除了。也即有跳跃间断点的函数必定无原函数。
那么看起来可去间断点的函数满足了原函数左右导数相等的条件了。
但是再想一下,我们从左右导数推导以后,还得关注一点可导(视这点为x0)的细节,即:原函数在一点可导,左右导数相等且等于x0点的导数:f(x0),现在x0处f(x)是个洞,这样原函数肯定不乐意,一个洞都不能有!
而第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的。第二类间断点有无穷间断点和震荡间断点,这两类要具体问题具体分析。我数学素养有限,不能随手就举出例子。只记得这个结论以及有这样一种直觉。
但是,无论如何,请理解:只要是第一类间断点,这个函数就一定没有原函数。同时,还要区分可积的概念,可积就不用管原函数那套严苛的数学定义,只需要关注求和,可加即可。这点也需要明确。
被积函数虽然可积,但是不能表示变上限积分函数是否可导,除非被积函数连续,即:f(x)连续,那么积分必定可导。如果不连续,积分一定不可导。
但是只要被积函数可积,则变上限积分函数必定连续。
可积比原函数存在需要的条件少一些。
变上限积分的根子还是在函数的积分,因此我们只看不定积分的一般情况。
第一类间断点的函数仍然可积,事实上,这句话的完整描述是:有限个第一类间断点的函数均可积,但是只要是第一类间断点,即使是可去间断点,仍然不存在原函数。
换句话说,只要函数连续,就一定有原函数。
But,第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的,是否可积也是不定的。
这个结论该怎么证明呢?(只详谈第一类间断点)
关于第二类间断点的可积性判断,有关广义积分与极限,这里暂时避而不谈,关注一个重点。
这么说,假设函数f(x)存在第一类间断点,那么自然可积函数是连续的。这个暂不细究,而如果认为这个可积函数是原函数,那么标准就要严苛起来了。具体严格的标准如下:原函数求导得到的是f(x)。那么必然原函数连续且可导。
可导的定义我们知道:左右导数均存在且相等。
对应到f(x)便是:f(x)的左右极限且相等。由这里知道,跳跃间断点肯定排除了。也即有跳跃间断点的函数必定无原函数。
那么看起来可去间断点的函数满足了原函数左右导数相等的条件了。
但是再想一下,我们从左右导数推导以后,还得关注一点可导(视这点为x0)的细节,即:原函数在一点可导,左右导数相等且等于x0点的导数:f(x0),现在x0处f(x)是个洞,这样原函数肯定不乐意,一个洞都不能有!
而第二类间断点的函数是否存在原函数是不定的。第二类间断点有无穷间断点和震荡间断点,这两类要具体问题具体分析。我数学素养有限,不能随手就举出例子。只记得这个结论以及有这样一种直觉。
但是,无论如何,请理解:只要是第一类间断点,这个函数就一定没有原函数。同时,还要区分可积的概念,可积就不用管原函数那套严苛的数学定义,只需要关注求和,可加即可。这点也需要明确。
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