[数据结构与算法] 5，栈的应用-四则运算表达式求值

1，后缀(逆波兰)表示法定义

计算器可以帮忙计算一些简单的加减乘除，但是如果遇到一些比较复杂的，比如说有大中小括号的四则运算，那么一些普通的计算器就无法实现运算了，但是观察发现，所有的括号都是成对出现的，大中小括号其实也是嵌套的。

有了后缀表达法，我们可以把9 + ( 3 - 1 ) * 3 + 10 / 2表示为9 3 1 - 3 * + 10 2 / +，从左到右，遇到运算符号就将前面两个数字进行运算，用栈来解释就是：

从左到右，遇到数字就进栈，遇到运算符就将栈顶两个元素进行运算，运算结果再进栈，如下图：











那么我们如何将其转化为后缀表达式呢？以中缀表达式9 + ( 3 - 1 ) * 3 + 10 / 2作为例子。

规则：从左到右遍历中缀表达式每个数字跟符号，如果是数字就输出，也就是成为后缀表达式的一部分，如果是符号，那么就判断其与栈顶符号的优先级，是右括号或者优先级没有比栈顶元素高(入栈的始终都是优先级比栈顶元素大的，比如乘除大于加减)，那么就把栈顶元素出栈。

1，初始化一个空栈，用来对符号进栈或者出栈使用。遇到数字都是直接输出的，所以下面输出9，+入栈



2，接下来遇到  ( 左括号，入栈，遇到数字3输出，遇到 - 减号入栈，遇到数字1输出



3，接下来遇到右括号），跟前面的左括号进行配对，所以 - 减号出栈输出，所以现在表达式变成 ”9 3 1 -“ ， 栈中剩下 + 号

4，接下来遇到乘号*，跟栈顶元素 + 对比，乘号优先级比较高，所以乘号入栈，然后遇到数字3输出，如下图：



5，接下来遇到 + 加号，对比栈顶元素，优先级没有栈顶元素高，所以，栈顶的*乘号先出栈，紧接着的+加号优先级跟即将要入栈的 + 加号优先级一样，所以栈中的 + 加号出栈，即将入栈的加号入栈（9 + ( 3 - 1 ) * 3 +，也就是最后面那个）。也就是说，现在输出的加号是前面入栈的加号。

6，接下来遇到10，直接输出，遇到除号入栈（除号的优先级高于栈中的加号，入栈的始终都是优先级比栈顶高），如下图



7，最后一个数字是2，直接输出，已经没有其与的中缀表达式符号了，栈中所有的符号（/ +）出栈，那么后缀表达式完成



从上面的这个过程，我们得出一个总结：

1 将中缀表达式转化成后缀表达式(栈用来进出运算的符号)

2 将后缀表达式进行运算得出结果 (栈用来进出运算的数字)