BZOJ 3209: 花神的数论题 （数位dp）

3209: 花神的数论题

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Description

背景

众所周知，花神多年来凭借无边的神力狂虐各大 OJ、OI、CF、TC …… 当然也包括 CH 啦。

描述

话说花神这天又来讲课了。课后照例有超级难的神题啦…… 我等蒟蒻又遭殃了。

花神的题目是这样的

设 sum(i) 表示 i 的二进制表示中 1 的个数。给出一个正整数 N ，花神要问你

派(Sum(i)),也就是 sum(1)—sum(N) 的乘积。

Input

一个正整数 N。

Output

一个数，答案模 10000007 的值。

Sample Input

样例输入一

3

Sample Output

样例输出一

2

HINT

对于样例一，1*1*2=2；

数据范围与约定

对于 100% 的数据，N≤10^15

Source

原创 Memphis

题解：一看数据范围是10^15，2^60肯定比它大，所以最多60个1，如果枚举1的个数，问题转化成求1-N中二进制表示中有x个1的数字的个数，这是典型的数位DP。

AC代码：

/**************************************************************
Problem: 3209
User: Walker_ACM
Language: C++
Result: Accepted
Time:0 ms
Memory:1408 kb
****************************************************************/

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod =1e7+7;
ll n,m;
ll ans[66],dig[60],c[61][61],dp[60][60][2];
int vis[60][60][2];
ll q_mod(ll a,ll b)
{
ll res=1;
while(b)
{
if(b&1) res=res*a%mod;
b>>=1;
a = a*a%mod;
}
return res;
}
ll dfs(int pos,int left,int flag)//left表示有多少个 1
{
if(vis[pos][left][flag]==1) return dp[pos][left][flag];
if(pos + 1 < left) return 0;
if(left==0) return 1;
else{
ll& res = dp[pos][left][flag];
if(flag==0)
{
if(dig[pos]==0)
{
res+=dfs(pos-1,left,flag);
}
else
{
res+=dfs(pos-1,left,1);
res+=dfs(pos-1,left-1,0);
}
}

else {
res += c[pos+1][left];
}
return res;
}
}
ll solve(ll x)
{
int len =0;
memset(dp,0,sizeof(dp));
memset(vis,0,sizeof(vis));
while(x) dig[len++] = x & 1, x>>=1;
for(int i=1;i<=len;i++)
{
ans[i] = dfs(len-1,i,0); //ans[i]存储的是二进制中有 i个1的数字的个数
}
return len;
}
int main()
{
for(int i=0;i<=60;i++){
c[i][0]=c[i][i] = 1;
for(int j=1;j<=i-1;j++)
c[i][j] = c[i-1][j] + c[i-1][j-1];
}
while(~scanf("%lld",&n))
{
int len = solve(n);
ll Ans=1;
for(int i=1;i<=len;i++){
Ans *= q_mod(i,ans[i]);//二进制表示中有 i个 1的数字的个数=ans[i]
Ans %= mod;
}
printf("%lld\n",Ans);
}
return 0;
}