POJ 1061 青蛙的约会
2016-09-20 17:09
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Description
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
Sample Output
Source
浙江
~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~
根据题意,两个青蛙跳到同一个点上才算是遇到了,所以有 (x+m*t) - (y+n*t) = p * ll; (t是跳的次数,ll是a青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差。整个就是路程差等于纬度线周长的整数倍),
转化一下: (n-m) * t + ll * p = x – y;
令 a = n-m, b = ll, c = gcd(a, b), d = x-y;
有 a * t + b * p = d; (1)
要求的是t的最小整数解。
用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);
有 a * t0 + b * p0 = c; (2)
因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数,b * t / c 也是整数,所以 d / c 也需要是整数,否则无解。
(2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;
所以t0 * (d / c)是最小的解,但有可能是负数。
因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)
所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;
还有一个问题,如何用扩展的欧几里德求出t0跟p0呢?
对于不完全为0的非负整数a, b. gcd(a, b)表示a, b 的最大公约数。那么存在整数x, y使得 gcd(a, b) = a * x + b * y;
不妨设a > b
① ,当b = 0 时,gcd(a, b) = a , 此时 x = 1, y = 0;
② ,当 a * b <> 0 时,
设 a * x + b * y = gcd(a, b); (1)
b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b); (2)
由朴素的欧几里德公式; gcd(a, b) = gcd (b, a % b);
得(1),(2) a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0
= b * x0 + (a – a / b * b) * y0
= a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b
所以 x = y0, y = x0 – a / b * y0;
由此可以得出扩展欧几里德的递归程序。
(思路来自:http://blog.chinaunix.net/uid-22263887-id-1778922.html)
!=写成==查到吐血……
#include<cstdio>
#define ll long long
ll xx,yy,m,n,t,l,a,b,c,d,p;
void findd(ll a,ll b)
{
if(b==0) t=1,p=0,c=a;
else
{
findd(b,a%b);
int z=t;t=p;p=z-a/b*p;
}
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&xx,&yy,&m,&n,&l);
if(n==m)
{
printf("Impossible\n");return 0;
}
a=n-m,b=l,d=xx-yy;
findd(a,b);
if(d%c!=0)
{
printf("Impossible\n");return 0;
}
b/=c;d/=c;
printf("%lld\n",(d*t%b+b)%b);
return 0;
}
两只青蛙在网上相识了,它们聊得很开心,于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上,于是它们约定各自朝西跳,直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情,既没有问清楚对方的特征,也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的,它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去,总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上,不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙,你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面,会在什么时候碰面。
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B,并且规定纬度线上东经0度处为原点,由东往西为正方向,单位长度1米,这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x,青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米,青蛙B一次能跳n米,两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。
Input
输入只包括一行5个整数x,y,m,n,L,其中x≠y < 2000000000,0 < m、n < 2000000000,0 < L < 2100000000。
Output
输出碰面所需要的跳跃次数,如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"
Sample Input
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Source
浙江
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根据题意,两个青蛙跳到同一个点上才算是遇到了,所以有 (x+m*t) - (y+n*t) = p * ll; (t是跳的次数,ll是a青蛙跳的圈数跟b青蛙的圈数之差。整个就是路程差等于纬度线周长的整数倍),
转化一下: (n-m) * t + ll * p = x – y;
令 a = n-m, b = ll, c = gcd(a, b), d = x-y;
有 a * t + b * p = d; (1)
要求的是t的最小整数解。
用扩展的欧几里德求出其中一组解t0 ,p0, 并令c = gcd(a, b);
有 a * t0 + b * p0 = c; (2)
因为c = gcd(a, b), 所以 a * t / c是整数,b * t / c 也是整数,所以 d / c 也需要是整数,否则无解。
(2)式两边都乘(d / c) 得 a * t0 *(d / c) + b * p0 * (d / c) = d;
所以t0 * (d / c)是最小的解,但有可能是负数。
因为a * ( t0 *(d / c) + b*n) + b * (p0 * (d / c) – a*n) = d; (n是自然数)
所以解为 (t0 * (d / c) % b + b) % b;
还有一个问题,如何用扩展的欧几里德求出t0跟p0呢?
对于不完全为0的非负整数a, b. gcd(a, b)表示a, b 的最大公约数。那么存在整数x, y使得 gcd(a, b) = a * x + b * y;
不妨设a > b
① ,当b = 0 时,gcd(a, b) = a , 此时 x = 1, y = 0;
② ,当 a * b <> 0 时,
设 a * x + b * y = gcd(a, b); (1)
b * x0 + (a % b) * y0 = gcd( b, a % b); (2)
由朴素的欧几里德公式; gcd(a, b) = gcd (b, a % b);
得(1),(2) a * x + b * y = b * x0 + (a % b) * y0
= b * x0 + (a – a / b * b) * y0
= a * y0 + ( x0 – a / b * y0 ) * b
所以 x = y0, y = x0 – a / b * y0;
由此可以得出扩展欧几里德的递归程序。
(思路来自:http://blog.chinaunix.net/uid-22263887-id-1778922.html)
!=写成==查到吐血……
#include<cstdio>
#define ll long long
ll xx,yy,m,n,t,l,a,b,c,d,p;
void findd(ll a,ll b)
{
if(b==0) t=1,p=0,c=a;
else
{
findd(b,a%b);
int z=t;t=p;p=z-a/b*p;
}
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld%lld%lld",&xx,&yy,&m,&n,&l);
if(n==m)
{
printf("Impossible\n");return 0;
}
a=n-m,b=l,d=xx-yy;
findd(a,b);
if(d%c!=0)
{
printf("Impossible\n");return 0;
}
b/=c;d/=c;
printf("%lld\n",(d*t%b+b)%b);
return 0;
}
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